Les points à retenir

Définitions

Une fonction $F:I \longrightarrow \mathbb{R}$ est une primitive de $f$ dans $I$ si et seulement si $F$ est dérivable sur $I$ et $F'=f$ dans $I$.

L'ensemble de toutes les primitives de $f$ s'écrit $\int f (x) \,\mathrm{d}x = F (x) + c, c\in \mathbb{R}.$

Propriétés fondamentales

1. $\int(f +g)(x)\,\mathrm{d}x = F (x) + G(x) \;\;\forall x\in I.$
2. $\int(\lambda f)(x)\,\mathrm{d}x = \lambda F (x) \;\; \forall x\in I.$

Intégrale définie

$\int_{a}^{b}f\, \mathrm{d}x=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a).$

1. Intégration par parties
   

   $\int F(x)\,G'(x) \,\mathrm{d}x= F(x)\,G(x)-\int F'(x)\,G(x) \,\mathrm{d}x.kk$

   Remarque: Pour calculer ce type d'intégrale: $\int P(x)\cos(\alpha x)dx$, $\int P(x)\sin(\alpha x)dx$,$\int P(x)e^{\alpha x}dx$ où$P$ est un polynôme et $\alpha\in \mathbb{R}$, il est recommander de poser $F(x)=P(x)$.

2. Intégration par changement de variable

         Formule du changement de variable

         Si on pose $t=g(x)\Leftrightarrow \,\mathrm{d}t = g'(x)\,d\,\mathrm{d}x$, alors on a

                                           $\int f (g(x))\,g'(x)\,\mathrm{d}x=\int f (t)\,\,\mathrm{d}t.$

Intégration des fractions rationnelles

• $\int\dfrac{1}{x+\lambda}dx=\ln\vert x+\lambda\vert+c,\;\; c\in \mathbb{R}.$
• $\int\dfrac{1}{\left( x+\lambda\right) ^{n}}dx=-\dfrac{1}{n-1}\dfrac{1}{\left( x+\lambda\right) ^{n-1}}+c,\;\; c\in \mathbb{R}.$
• Si $x^{2}+px+q$ admet deux racines réelles $\alpha$ et $\beta$. On a

$\left. \begin{aligned}\int \dfrac{ax+b}{x^{2}+px+q} dx&=\int\dfrac{A}{x-\alpha}dx+\int \dfrac{B}{x-\beta} dx\\&=A \ln\vert x -\alpha\vert+B \ln\vert x -\beta\vert+c,\;\; c\in \mathbb{R}.\end{aligned}\right.$

• Si$x^{2}+px+q$ n'admet pas de racines réelles. on a

$x^{2}+px+q=\left( x-\alpha\right) ^{2}+\beta^{2}.$

En faisant le changement de variable suivant:

$x-\alpha=\beta\,t \Rightarrow dx=\beta dt,$ et On se ramène au calcul des intégrales suivantes:

$\displaystyle\left. \begin{aligned}\begin{split}\int \dfrac{ax+b}{x^{2}+px+q} dx&=\int \dfrac{ax+b}{\left( x-\alpha\right) ^{2}+\beta^{2}} dx\\&=\int \dfrac{Mt+N}{t^{2}+1}dt\\&= \int \dfrac{Mt}{t^{2}+1}dt+\int \dfrac{N}{t^{2}+1}dt\\&= \dfrac{M}{2} \ln \left( t^{2}+1\right) +N\, \arctan(t) +c, \; c\in \mathbb{R}.\end{split}\end{aligned}\right.$

Puis on remplace $t$ par $\dfrac{x-\alpha}{\beta}$.