Conversion d'un nombre d'un système à un autre
Les conversions de nombre interviennent pour passer d'un système de numération vers un autre :
Conversion binaire en décimal
Le nombre donné est exprimé comme une somme de termes dont chacun est le produit d'un bit ( 0 ou 1 ) et d'une puissance de 2.
- La puissance de 2 est déterminée à partir de la position du bit.
Ainsi l'équivalent décimal d'un nombre binaire « a »
la forme générale ;
an-1 an-2 .... ai ..... a1 ..... a0 , a-1 a-2 ..... a–p = an-1*2n-1 + an-2*2n-2 + ..... + ai*2i + .... + a1*21 + a0*20 + a-1*2-1 + a-2*2-2 + .... + a-p*2–p
Dans le système de nombres binaires, quelques exemples de nombres binaires et de leurs équivalents décimaux sont donnés ci-dessous :
( 101101 )2 =( 1×25 +0×24 +1×23 +1×22 +0×21 +1×20 = 32+0+8+4+0+1 )10 = ( 45 )10
Les résultats ci-dessus peuvent s'exprimer plus clairement de la manière suivante:
Nombre Binaire | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | Nombre Décimal |
Base/ Puissance | 25 | 24 | 23 | 22 | 21 | 20 | 45 |
Équivalent en Décimal | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | |
Produit pour chaque termes | 32 | 0 | 8 | 4 | 0 | 1 |
Autre exemple avec virgule
( 111,1011 )2 = ( 1×22 +1×21 +1×20 +1×2-1 +0×2-2 +1×2-3 +1×2-4 = 4 + 2 + 1 + 0,5 + 0 + 0,125 + 0,0625 )10= ( 7,6875 )10
Conversion décimal - binaire d'un nombre entier
Méthode de multiplication et de division :
Méthode :
La méthode des divisions successives[1] consiste à diviser successivement par 2, le nombre décimal à convertir jusqu'à ce que le résultat de la division soit égal à 0. Le nombre binaire correspondant sera la succession des restes obtenus. Le bit de poids le plus élevé de ce nombre, étant le reste obtenu à la dernière division.
Méthode des soustractions successives
Méthode :
Pour utiliser cette méthode[1], on doit déterminer en premier lieu, les valeurs successives des puissances de la base (2i, i=0.......n). On déterminera ensuite, entre quelles valeurs successives de 2i se situe le nombre à convertir. La borne inférieure est alors soustraite au nombre. On procède de la même manière avec le reste obtenu, jusqu'à ce que l'on obtienne 0, comme reste de la soustraction.
La valeur binaire sera 1 à la position du poids utilisé dans la soustraction, et 0 à la position des poids non utilisés.
Exemple :
En utilisant la méthode des soustractions successives, convertir le nombre décimal 43 en binaire.
On situe 43 dans la table des puissances successives de 2; ensuite on lui soustrait la borne inférieure. On fait de même avec le reste trouvé et ainsi de suite jusqu'à trouver 0
On a utilisé dans les différentes soustractions 25, 23, 21 et 20.
Pour récupérer le résultat on va donc mettre des 1, dans les positions correspondant aux poids 5, 3, 1 et 0, et des 0 dans les positions qu'on n'a pas utilisé (c'est-à-dire les poids 2 et 4).
Donc la conversion de (43)10 de la base 10 est : ( 101011 )2 en base 2.
Conversion de la base B (2, 8, 16) vers la base 10
Pour convertir un nombre ππ = (ππ−1 ππ−2 . .. π1 π0)π de la base b vers la base 10, on effectue le calcul suivant :
(ππ)B = (ππ−1 ∗ ππ−1 + ππ−2 ∗ ππ−2 . .. +π1 ∗ π1 + π0 ∗ π0)10
Elle correspond à la somme des produits de chaque symbole du nombre par le poids correspondant. Le poids des symboles : il s'obtient en numérotant les symboles à partir de la droite vers la gauche, en commençant du 0.
Exemple : Quelques exemples :
Exemple 1 :
( 1367)8 = ( ? )10
( 1367 )8 = ( 1 ∗ 83 + 3 ∗ 82 + 6 ∗ 81 + 7 ∗ 80 )10
( 1367 )8 = ( 759 )10
Exemple 2 :
( 2π΅3 )16 = ( ? )10
( 2π΅3 )16 = ( 2 ∗ 162 + π΅ ∗ 161 + 3 ∗ 160 )10
( 2π΅3 )16 = ( 691 )10
Exemple 3 :
( 1011101 )2 = ( ? )10
( 1011101 )2 = ( 1 ∗ 26 + 0 ∗ 25 + 1 ∗ 24 + 1 ∗ 23 + 1 ∗ 22 + 0 ∗ 21 + 1 ∗ 20 )10
( 1011101 )2 = ( 93 )10
Conversion décimal vers une base B quelconque -----base 10 vers B (2, 8, 16)
Pour la conversion décimal à un autre système de numération, le procédé est identique ( divisions successives ou soustractions successives). On remplace seulement 2 par B; B étant la base de numération du système considéré. Les restes obtenus auront des valeurs comprises entre 0 et B-1
Exemple 1 :
( 144 )10= ( ? )2
Exemple 2 :
( 1420 )10= ( ? )8
Exemple 3 :
( 2025 )10= ( ? )16
Conversion de la base 8 vers la base 2
Pour convertir un nombre Nb exprimé en base 8 vers la base 2, nous procédons comme suit: 8 = 23
Il faut donc utiliser 3 bits pour exprimer un seul chiffre octal en binaire.
La représentation des chiffres de la base 8 vers le binaire est comme suit :
Exemple : Exemples tirés a partir de la table :
( 743 )8 = ( 111 100 011 )2
( 134 )8 = ( 001 011 100 )2
( 3476 )8 = ( 011 100 111 110 )2
Conversion de la base 16 vers la base 2
Pour convertir un nombre Nb exprimé en base 16 vers la base 2, nous procédons comme suit: 16 = 24
Il faut donc utiliser 4 bits pour exprimer un seul chiffre hexadécimal en binaire.
La représentation des chiffres de la base 16 vers le binaire est comme suit :
Exemple : Exemples tirés à partir du Tableau
( 743 )16 = ( 0111 0100 0011 )2
( 134 )16 = ( 0001 0011 0100 )2
( A6E9 )16 = ( 1010 0110 1110 1001 )2
Conversion de la base 2 vers la base 8
Pour trouver l'équivalent d'un « nombre binaire en octal »
, il suffit de former des groupes de 3 bits chacun (Puisque 8 = 23), en commençant du poids le plus faible ( à partir de la droite), si le dernier groupe formé possède moins de 3 bits, il suffit de rajouter des 0, puis calculer l'équivalent en octal de chaque groupe.
Exemple :
Exemple de conversion du Binaire vers l'Octal
Conversion de la base 2 vers la base 16
Pour trouver l'équivalent d'un « nombre binaire en Hexadécimal »
, il suffit de former des groupes de 4 bits chacun (Puisque 16 = 24 ), en commençant du poids le plus faible ( à partir de la droite), si le dernier groupe formé possède moins de 4 bits, il suffit de rajouter des 0, puis calculer l'équivalent en Hexadécimal de chaque groupe.
Exemple :
Exemple de conversion du Binaire Vers l’Hexadécimal
Conversion de la base 16 vers la base 8
Pour convertir un nombre Nb exprimé en base 16 vers la base 8 ou vice versa, nous devons passer par une base intermédiaire tel que le décimal ou le binaire, mais le passage par le binaire est« beaucoup plus simple »
.
Exemple :
Exemple de conversion de l’Hexadécimal vers Octal
