Propriétés de l'algèbre de Boole
Si A et B sont des variables Booléennes, alors A+B, A.B sont aussi des variables Booléennes.
Associativité
Comme avec les opérations habituelles, certaines parenthèses sont inutiles:
(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c
(a.b).c = a.(b.c) = a.b.c
Commutativité
L'ordre est sans importance:
a + b = b + a
a.b = b.a
Distributivité
Comme avec les opérations habituelles, il est possible de distribuer :
a.(b + c) = a.b + a.c
Attention : comportement différent par rapport aux opérateurs + et * habituels :
a + (b.c) = (a + b).(a + c)
Idempotence
a + a + a + [...] + a = a
a.a.a.[...].a = a
Élément neutre
a + 0 = a
a.1 = a
Élément nul
0.a = 0
1 + a = 1
Absorption
a + a.b = a
a.(a + b) = a
Simplification
A+Ᾱ. b = A + B
A . (Ᾱ + B ) = A . B
Redondance
A . B + Ᾱ. C = A . b + Ᾱ. C + B . C
Complémentarité
a = a ( « La lampe est allumée »
=« la lampe n'est pas non allumée »
)
a + a = 1 (« VRAI » Si « lampe_allumée »
OU Si « lampe _non_allumée »
→ c'est toujours le cas → vrai dans tous les cas → toujours VRAI, donc =1)
a . a = 0 (« VRAI » Si « lampe_allumée »
ET Si « lampe _non_allumée »
→ impossible → faux dans tous les cas → toujours FAUX donc =0)
Priorité
Pour faciliter leur compréhension, il a été décidé que ces opérations seraient soumises aux mêmes règles que les opérations, la fonction ET est ainsi prioritaire par rapport à la fonction OU; pour s'aider, on peut placer des parenthèses dans les opérations.
Lois ou théorème de De Morgan
Le théorème de De MORGAN s'exprime par les deux relations :[1]
Exemple :
Exemple sur la priorité :
Dans cet exemple on suppose a = 0 ; b = 1 ; c = 1 et On cherche à déterminer a . b + c = ?
Ce qu'il faut faire d'abord on calcule « a . b »
: car la multiplication logique ET est prioritaire devant la somme logique OU.
Donc : a . b = 0 . 1 , d’où le résultat de 0.1 = 0
Puis, on calcule 0 + c qui est 0 + 1 = 1
Le résultat final de a . b + c = (a . b) + c = 1
Complément :
Algèbre de Boole | simplification des expressions à l'aide de l'algèbre de BOOLE (Vidéo)