Représentation des fonctions logiques
Représentation par la table de vérité - logigrammes
Pour une table de vérité donnée, nous pouvons trouver l'équation logique et le logigramme (ou diagramme échelle) correspondant
Il faut utiliser l'algèbre de Boole pour simplifier.
Exemple : Exercice d'application
Questions:
1. A partir de la table de vérité ci-dessous exprimez la sortie S en fonction des entrées A,B,C
2. Tracer son logigramme en utilisant des portes logiques nécessaires.
Solution:
1. On construit l'équation de S en écrivant tous les termes donnant S=1.
Ainsi, S = 1:
si C=0 et B=1 et A=0;
ou si C=0 et B=1 et A=1;
ou si C=1 et B=0 et A=1;
ou si C=1 et B=1 et A=0.
2. Tracer son logigramme en utilisant des portes logiques nécessaires.
On peut donc écrire:
On peut simplifier la fonction S:
Autre simplification :
Représentation par le tableau de Karnaugh – logigrammes
A) Représentation de deux variables a, b
Un tableau de Karnaugh peut se représenter sous les formes suivantes :
Avec X est le nom de la fonction
A et B sont des nom des variables (a, b),
L'état des variables : 0 , 1
La valeur de la fonction (1 ou 0) à l'intérieur des cases
B) Représentation de trois variables a,b,c
A chaque case est associé un triplet des valeurs a, b, c.
Exemple :
La case 1 représentera le triplet {0,0,0}
ou a = 0, b = 0 et c = 0.
Nous pouvons dire également que la case 1
correspond au produit (a ⋅ b ⋅ c ).
C) Représentation de quatre variables a,b,c,d
A chaque case est associé un quadruplet des valeurs a, b, c, d.
Exemples :
la case 4 représentera le quadruplet {1,0,0,0}
ou a = 1, b = 0, c = 0 et d = 0 (a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ).
La case 11 représentera le quadruplet {1,1,1,1}
ou a = 1, b = 1, c = 1 et d = 1 (a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ).
La case 16 représentera le quadruplet {1,0,1,0}
ou a = 1, b = 0, c = 1 et d = 0 (a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ).
Exemple :
Exercice d'application (écriture dans le tableau de KARNAUGH )
Dans cet exercice nous allons voir comment obtenir une équation de sortie simplifiée, à partir d'une table de vérité en utilisant la technique utilisé par Karnaugh.
Supposons que l'étude d'un dispositif nous ait conduits à la table de vérité suivante :
La sortie S de notre dispositif doit fonctionner dans les cas suivants :
si les 3 variables a, b et c sont simultanément à l'état 0 (fonction ET a ⋅ b ⋅ c),
OU si a = 0, b = 1, c = 1 simultanément (fonction ET : a ⋅ b ⋅ c),
OU si a = 1, b = 1, c = 0 simultanément (fonction ET : a ⋅ b ⋅ c).
Ce que nous traduisons par l'équation :
Dans le tableau de Karnaugh, nous mettrons un «1» dans chacune des cases correspondant aux termes
Nous placerons un «0» dans les cases correspondant aux autres termes. A l'aide du regroupement des case adjacente on peut écrire :
Adjacences des cases et regroupement de cases dans un tableau de Karnaugh
Dans chaque cas, l'ordre d'écriture des états des variables fait qu'entre deux cases voisines (en ligne ou en colonne) une seule variable change d'état ; on dit de telles cases qu'elles sont adjacentes voir la figure ci-dessous.
Exemple :
Exemples d'ordre d'écriture des états des variables fait qu'entre deux cases voisines (en ligne ou en colonne)