Les systèmes de codage des informations
Toute sorte d'information manipulées par un ordinateurs (numériques, textuelles, images, sons, vidéos, etc.) est représentée par des séquences de deux chiffres : 0 et 1. Ces deux chiffres sont désignés par BIT (BInary degiT).
Donc un bit est soit 0 ou bien 1 qui est représenté par l'ordinateur par deux états électroniques: soit il y a présence d'une impulsion électrique (c'est l'état 1), soit il y a absence d'impulsion électrique (c'est l'état 0).
Les systèmes de numération ou le codage d'une information consiste à établir une correspondance entre la représentation externe (habituelle) de l'information (le caractère A ou le nombre 36 par exemple), et sa représentation interne dans la machine, qui est une suite de bits.
Un système de numération se définit par deux éléments: la base du système et les symboles utilisés. Les systèmes les plus utilisés sont:
Système Binaire : (Base 2), les symboles utilisés { 0,1}
Système Décimale : (Base10), les symboles utilisés { 0,1,2, 3,4,5,6,7,8,9}
Système Octal : (Base 8), les symboles utilisés { 0,1,2,3,4,5,6,7}
Système Hexadécimal : (Base16), les symboles utilisés {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}
Avec A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15
Notation
Un nombre quelconque Nb exprimé dans une base b sera noté comme suit :
Avec :
b : la base du système de numérotation.
ai : symbole du système de numérotation, i=0,...,n-1 et ai <b
Exemple :
Nb1 = (1001101)2 avec a6 = 1 ; a5 = 0 ; a4 = 0 ; a3 = 1 ; a2 = 1 ; a1 = 0 ; a0 = 1 ;
Nb2 = (351)8 avec a2 = 3 ; a1 = 5 ; a0 = 1 ;
Nb3 = (1895)10 avec a3 = 1 ; a2 = 8 ; a1 = 9 ; a0 = 5 ;
Nb4 = (3FCA)16 avec a3 = 3 ; a2 = F ; a1 = C ; a0 = A ;
Attention :
Un nombre Nb donné dans un système de numération b, ne doit pas contenir un symbole qui est supérieur ou égale à l'indice de base b.
Exemple :
Nb5 = (2951)8 cette notation est erronée, car le nombre contient un symbole qui est égale à la base.
Remarque :
- Quand la base n'est pas mentionnée, on considère qu'on est en base 10.
- Dans une base b, nous avons b chiffres : 0, 1, 2, ..., (b-1).
Conversion d'un nombre d'un système à un autre
Conversion de la base 2, 8, 16 vers la base 10
Pour convertir un nombre Nb = (an-1 an-2 ................... a1 a0 )b de la base b vers la base 10, on effectue le calcul suivant :
(Nb)b = (an-1* bn-1 + an-2 * bn-2 +................... + a1 * b1 +a0 * b0) 10
Elle correspond à la somme des produits de chaque symbole du nombre par le poids correspondant.
Le poids des symboles : il s'obtient en numérotant les symboles à partir de la droite vers la gauche, en commençant du 0.
Exemple :
(10011)2 = ( ? )10
(10011)2 = (1 * 24 +0 * 23 +0 * 22 + 1 * 21 + 1 * 20)10
(10011)2 = ( 19 )10
(127)8 = ( ? )10
(127)8 = (1 * 82 + 2 * 81 + 7 * 80)10
(127)8 = ( 87 )10
(10F)16 = ( ? )10
(10F)16 = (1 * 162 + 0 * 161 + 15 * 160)10
(10F)16 = ( 271 )10
Conversion de la base 10 vers la base 2, 8, 16
Soit Nb un nombre exprimé dans la base 10, pour trouver son équivalent en base b, on applique la méthode des divisions successives sur b, jusqu'à l'obtention d'un résultat nul. Puis, on récupère les restes des divisions dans le sens inverse, i.e. le dernier reste trouvé représentera le poids le plus fort et le premier reste trouvé sera le poids le plus faible.
Exemple :
(144)10 = ( ? )2
(144)10 = ( 1110010 )2
(1420)10 = ( ? )8
(1420)10 = ( 2614 )8
(2546)10 = ( ? )16
(2546)10 = ( 9F2 )16
Conversion de la base 8 vers la base 2
Pour convertir un nombre Nb exprimé en base 8 vers la base 2, nous procédons comme suit: 8 = 23 . Il faut donc utiliser 3 bits pour exprimer un seul chiffre octal en binaire.
La représentation des chiffres de la base 8 vers le binaire est comme suit :
Exemple :
(7105)8 = ( ? )2
On a :
(7)8 = ( 111 )2
(1)8 = ( 001 )2
(0)8 = ( 000 )2
(5)8 = ( 101 )2
D’où
(7205)8 = ( 111 001 000 101)2
Conversion de la base 16 vers la base 2
Pour convertir un nombre Nb exprimé en base 16 vers la base 2, nous procédons comme suit: 16 = 24 . Il faut donc utiliser 4 bits pour exprimer un seul chiffre hexadécimal en binaire.
La représentation des chiffres de la base 16 vers le binaire est comme suit :
Exemple :
(A7D4)16 = ( ? )2
On a :
(A)16 = ( 1010 )2
(7)16 = ( 0111 )2
(D)16 = ( 1101 )2
(4)16 = ( 0100 )2
D’où
(A7D4)16 = ( 1010 0111 1101 0100)2
Conversion de la base 2 vers la base 8
Pour trouver l'équivalent d'un nombre binaire en octal, il suffit de former des groupes de 3 bits chacun ( Puisque 8 = 23 ), en commençant du poids le plus faible ( à partir de la droite), si le dernier groupe formé possède moins de 3 bits, il suffit de rajouter des 0, puis calculer l'équivalent en octal de chaque groupe.
Exemple :
Conversion de la base 2 vers la base 16
Pour trouver l'équivalent d'un nombre binaire en Hexadécimal, il suffit de former des groupes de 4 bits chacun ( Puisque 16 = 24 ), en commençant du poids le plus faible ( à partir de la droite), si le dernier groupe formé possède moins de 4 bits, il suffit de rajouter des 0, puis calculer l'équivalent en Hexadécimal de chaque groupe.
Exemple :
Conversion de la base 16 vers la base 8
Pour convertir un nombre Nb exprimé en base 16 vers la base 8 ou vice versa, nous devons passer par une base intermédiaire telle que le décimal ou le binaire, mais le passage par le binaire est beaucoup plus simple.
Exemple :
(B0F6)16 = ( ? )8
(B0F6)16 = (1011 0000 1111 0110)2
(001 | 011 | 000 | 011 | 110 | 110)2= ( 1 3 0 3 6 6)8
(B0F6)16 = ( 1 3 0 3 6 6)8
Le code D.C.B. (Decimal Coded Binary – Décimal codé binaire)
Le code DCB consiste à convertir chaque chiffre décimal en un nombre binaire sur 4 positions.
Exemple :
Le nombre décimal 378 est codé en DCB comme suit : 0101 0111 1000
Dans ce code, chaque chiffre décimal est remplacé par 4 chiffre binaires (comme dans le cas de hexadécimal).
La codification Alphanumériques
Les chiffres, lettres, signes de ponctuation, les symboles mathématiques, etc., sont représentées généralement en utilisant le code normalisé à 8 positions binaires. On utilise pour cela le code EBDIC (Extended Binary Coded Decimal International Code) ou le code ASCII[1] (American Standard Code Information Interchange).
Exemple :
