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walking Introduction et Sommaire de la séance

La présente séance offre une introduction aux concepts fondamentaux des probabilités, tels que les événements, les espaces probabilisés, les lois de probabilité, et les variables aléatoires. L'objectif de cet enseignement étant de fournir aux étudiants une compréhension solide des principes qui sous-tendent les calculs de probabilités, tout en les aidant à développer des compétences pratiques pour appliquer ces principes à des situations réelles. Nous aborderons également des notions avancées telles que les lois des grands nombres et le théorème central limite, qui sont essentielles pour comprendre le comportement des échantillons dans les enquêtes et les recherches en sciences humaines et sociales.

Nous avons préféré, chose qui n'est pas coutume, de faire précéder l'enseignement portant sur l'inférence statistique avant à celui portant sur le test d'hypothèse, de la régression ainsi que d'autres tests liés aux tableaux statistiques à double entrées, et ce pour donner l'occasion au lecteur de bien comprendre les notions de probabilité, de variable aléatoire et d'analyse combinatoire... qui contribuent grandement à rendre intelligible les enseignements qui vont suivre.

Dans la deuxième partie de l'enseignement, nous allons nous intéresser à l'analyse combinatoire, qui va nous servir au dénombrement des configurations possibles dans des situations complexes (probabilités). Nous allons à ce titre explorer les techniques combinatoires de base, comme les permutations, les combinaisons, les arrangements, et les partitions, ces dernières techniques sont particulièrement utiles dans le cadre de la théorie des probabilités, où elles permettent de calculer le nombre d'issues possibles d'une expérience aléatoire, et ainsi de déterminer les probabilités correspondantes.

Pour inférer des résultats, en analyse quantitative, on calcul la probabilité qu'un résultat soit attribuable au hasard. Si la probabilité est trop élevée que le résultat soit dû au hasard, cela signifie qu'il faut s'en méfier. Le risque de commettre une erreur en admettant ce résultat est trop grand. On peut aussi admettre un résultat échantillonnal en s'accordant une probabilité de ne pas se tromper (Laflamme, S., & Zhou, R. M., 2014, p85).

Dison, en fin que cette séance vise non seulement à développer les compétences analytiques des étudiants en matière de probabilités et de combinatoire, mais aussi à les sensibiliser à l'importance de ces outils pour l'analyse et la compréhension des phénomènes humains et sociaux. Les connaissances acquises vous permettront de mieux appréhender les incertitudes et les variabilités inhérentes aux phénomènes étudiés en sciences humaines et sociales, tout en les préparant à l'utilisation des méthodes quantitatives dans vos futurs travaux de recherche

define-location Objectifs de la séance

La présente séance portant sur les probabilités ainsi que les procédures d'inférence statistique visent à réaliser les objectifs que sont :

  • Initier le lecteur au vocabulaire et aux calculs des probabilités

    Ce Cours se veut comme une introduction et une revue des principales notions liées aux vocabulaire et au calcul des probabilités sur un Univers fini. Disons que ce Rappel que nous considérons comme primordial, est la clé qui aidera l'étudiant à mieux assimiler la logique de l'inférence, des tests d'hypothèses ainsi que des autres thématiques liées à l'analyse bivariée ;

  • Comprendre la logique de l'analyse combinatoire

    Afin de saisir la portée de l'analyse bivariée et de l'inférence statistique, nous avons jugé utile, aussi, d'adjoindre à ce Cours une courte section ayant pour contenu l'analyse combinatoire, qui contient principalement les notions d'arrangement, de permutations et de combinaison. L'analyse combinatoire est au fondement de l'esprit d'analyse des données de l'enquête et de la variable aléatoire, ainsi ce Cours vise aussi à travers cette section à mieux comprendre l'expérience aléatoire et à mieux saisir son rôle dans l'inférence statistique ;

  • Maîtriser le vocabulaire de l'inférence statistique

    Il s'agit dans cette visée d'approfondir les connaissances en probabilités et en analyse combinatoire afin de les mettre à contribution dans la compréhension des concepts d'estimation et d'intervalle de confiance afin d'être en mesure d'apprécier la profondeur des tests statistiques de diverses nature qui seront détaillés dans la séance à venir ;

  • Tester les connaissances sur un cas particulier

    Cette séance à pour but aussi de vous préparer à l'usage des logiciels d'analyse de données quantitatives dans votre travail de recherche, nous proposerons un cas d'étude et discuterons des options, contraintes et conditions, qui s'offrent ou qui se dressent devant le chercheur dans la réalisation de son enquête, il sera question de travailler avec le Python mais bien plus encore.

concept Concepts et thèmes à aborder durant la séance

Cette séance aborde les fondamentaux des probabilités et de l'analyse combinatoire, elle s'appuie sur les concepts suivants : espaces probabilisés, événements, probabilité conditionnelle, indépendance, variables aléatoires, lois de probabilité, espérance mathématique, variance et écart-type, loi des grands nombres, théorème central limite, permutations, combinaisons, arrangements, partitions.

1Les événements sur un Univers fini
1.1. Vocabulaire des événements

Dans cette section nous définirons les concepts de base des probabilités sur un échantillon fini, les procédures d'échantillonnage et d'inférence s'appuient en grande partie sur un raisonnement en termes de probabilités, ces dernières visant à modéliser les expériences aléatoires.

Définition II.3.1 : L'expérience aléatoire

On appelle expérience aléatoire toute expérience dont on ne peut pas connaître a priori le résultat, ce résultat est appelé éventualité, l'ensemble des éventualités est appelé Univers de l'expérience aléatoire, noté généralement \(\Omega\).

Remarque.

L'univers est dit fini lorsqu'il ne contient qu'un nombre fini d'éventualités (un événement est une partie, un sous-ensemble, de l'Univers). L'événement est réalisé si l'une des éventualités qui le compose est réalisé.

Conséquence.

De la définition et remarque qui précédent découlent les éléments suivants :

  • L'Univers est l'événement certain ;
  • L'Ensemble Vide ∅ est un événement impossible ;
  • On appelle a (qui est une éventualité) l'événement élémentaire.

1.2. Les opérations sur les événements

Définition : Soit \(A\) et \(B\) deux événements d'un Univers \(\Omega\).

  • L'ensemble constitué de toutes les éventualités appartenant à \(A\) et \(B\) est l'événement noté \(A \cap B \), que l'on appelle l'intersection des événements A et B. (On dit que les événements \(A\) et \(B\) sont incompatibles si \(A \cap B = ∅ \)) ;
  • L'ensemble constitué de toutes les éventualités appartenant à \(A\) ou à \(B\) est l'événement noté \( A \cup B \), que l'on appelle l'union (ou la réunion) des événements \(A\) et \(B\) ;
  • L'événement \(\overline{A} \), qui est constitué de de toutes les éventualités de \(\Sigma\) n'appartenant pas à \(A\) est appelé : l'événement contraire de A.

Les figures suivantes illustrent les opérations d'intersection, d'union et de contradiction :

Union \(A \cup B\)
Intersection \(A \cap B\)
Complément \(\overline{A \cup B}\)

Note :
\(\overline{\Omega} = \varnothing \) et \(\overline{\varnothing} = \Omega\), de façon plus générale, on note \(\overline{\overline{A}} = A \) ;
\(A\) étant un événement : \(A \cup \overline{A} = \Omega \) et \(A \cap \overline{A} = \varnothing\) (si \(A\) est distinct de \(\varnothing\) et de \(\Omega\), on dit que l'ensemble {\(A, \overline{A}\) } est une partition de l'Univers).

2Notions de probabilités
2.1. Calcul des probabilités

Cette partie explique, de façon sommaire, les principes du calcul des probabilités sur un Univers fini (on considère \(\Omega\) comme étant non vide et fini).

Définition II.3.2 : Probabilité

La probabilité d'un événement A dans un espace fini \(\Omega\) est une mesure de la certitude ou de l'incertitude de la réalisation de cet événement. Elle est définie comme le rapport entre le nombre de cas favorables à l'événement \(A\) et le nombre total de cas possibles dans l'univers \(\Omega\) des événements considérés :

\( \forall A \in (\Omega)~~~~ P(A) = \frac{card A}{card \Omega}.\)

De manière plus pratique, dans l'Univers \(\Omega = \left\{\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}, \omega_{4} ................\omega_{n} \right\}\) (où \(n\) est un entier naturel non nul), la Probabilité (on dit aussi la loi de probabilité P) renvoie au raisonnement qui figure dans le tableau suivant :

Éventualité \(\omega\) \(\omega_{1}\) \(\omega_{2}\) \(\omega_{3}\) \(\omega_{4}\) \(...\) \(\omega_{n}\)
\(P \left\{\omega\right\} = \) \( p_{1}\) \( p_{2}\) \( p_{3}\) \( p_{4}\) \(...\) \( p_{n}\)

Remarque :

  • \(P (\overline{A}) = 1 - P (A)\) ;
  • \( Pour ~~tout~~ i \in [~ 1~ ;~ n~ ] , ~ p_{i} \in [~0~ ;~ 1~ ] \) , autrement noté : \( 0 \leq P(A) \leq 1 \) ;
  • \(~ p_{1} ~+~ p_{2} ~+~ p_{3} ~+~ p_{4} ~+~ ... ~ + ~ p_{n} ~ = ~ 1 \) ;
  • \( P \varnothing = 0 \) ;
  • \( A \subset B \rightarrow P(A) \leq P(B) \) ;
  • \( P(A) = P(\left\{w_{1}\right\}) + P(\left\{w_{2}\right\}) + P(\left\{w_{3}\right\}) + .... + P(\left\{w_{k}\right\}) \)
    [où \(A = \left\{ w_{1}, w_{2}, w_{3}, ..., w_{n}\right\}\) est un événement défini sur \(\Omega\), \(k\) un entier naturel non nul].
Exemple et explication

Supposons que nous lançons un dé à six faces. Nous voulons calculer la probabilité d'obtenir un 3.
Nombre de cas favorables = 1 (il y a un seul 3 sur le dé)
Nombre total de cas possibles = 6 (il y a six faces sur le dé)

\( P(\text{obtenir un 3}) = \frac{1}{6} \approx 0,17 \) ou 17%

Autres règles de calcul
Probabilité Conditionnelle

La probabilité conditionnelle de l'événement A sachant B est la probabilité que A se produise sachant que B s'est produit.

Formule :

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

Exemple et explication

Supposons que nous avons un sac contenant 3 boules rouges et 2 boules bleues. Si nous tirons une boule au hasard, la probabilité de tirer une boule rouge (A) sachant que la boule tirée est bleue (B) est de 0, car il n'y a aucune intersection entre l'événement de tirer une boule rouge et l'événement de tirer une boule bleue.

Formellement, cela s'écrit :

P(A ∩ B) / P(B) = 0 / 2 = 0

Règle de la somme

Pour deux événements A et B, la probabilité que A ou B se produise est donnée par :

Formule :

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Exemple et explication

Supposons que nous avons un dé à six faces. L'événement A est "obtenir un nombre pair" et l'événement B est "obtenir un nombre supérieur à 4". Les nombres pairs sont {2, 4, 6} et les nombres supérieurs à 4 sont {5, 6}.
La probabilité de A est P(A) = 3/6 = 1/2, et la probabilité de B est P(B) = 2/6 = 1/3. La probabilité de l'intersection, A ∩ B, est le nombre {6}, donc P(A ∩ B) = 1/6.

En appliquant la règle de la somme, nous avons :

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 1/2 + 1/3 − 1/6 = 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3.

Règle du produit

Pour deux événements indépendants A et B, la probabilité que A et B se produisent est le produit de leurs probabilités individuelles.

Formule :

P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)

Exemple et explication

Supposons que nous lançons deux dés à six faces. L'événement A est "obtenir un 3 sur le premier dé" et l'événement B est "obtenir un 5 sur le deuxième dé". La probabilité de A est P(A) = 1/6 et la probabilité de B est P(B) = 1/6.

En appliquant la règle du produit, nous avons :

P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) = (1/6) ⋅ (1/6) = 1/36.

Théorème de Bayes

Le théorème de Bayes permet de trouver la probabilité d'un événement A sachant un autre événement B.

Formule :

P(A ∣ B) = P(B ∣ A) ⋅ P(A) / P(B)

Exemple et explication

Supposons qu'une maladie affecte 1% de la population. Un test de dépistage de cette maladie a une sensibilité de 99% (probabilité de tester positif si on est malade) et une spécificité de 95% (probabilité de tester négatif si on n'est pas malade).
Si une personne est testée positive, la probabilité qu'elle soit réellement malade peut être calculée en utilisant le théorème de Bayes.

Soit :

  • P(A) = 0,01 (probabilité d'être malade)
  • P(B ∣ A) = 0,99 (probabilité de tester positif si on est malade)
  • P(B ∣ ¬A) = 0,05 (probabilité de tester positif si on n'est pas malade)

P(B) peut être calculée comme suit :
P(B) = P(B ∣ A) ⋅ P(A) + P(B ∣ ¬A) ⋅ P(¬A)
= 0,99 ⋅ 0,01 + 0,05 ⋅ 0,99
= 0,0099 + 0,0495
= 0,0594

En appliquant le théorème de Bayes, nous avons :
P(A ∣ B) = (P(B ∣ A) ⋅ P(A)) / P(B)
= (0,99 ⋅ 0,01) / 0,0594
= 0,0099 / 0,0594
≈ 0,1667

Donc, si une personne teste positive, la probabilité qu'elle soit réellement malade est d'environ 16,67%.

Probabilité Totale

La probabilité totale est utilisée pour trouver la probabilité d'un événement en tenant compte de plusieurs partitions de l'espace des échantillons.

Formule :

P(A) = ∑i P(A ∣ Bi) ⋅ P(Bi)

Exemple et explication

Supposons qu'il y a trois usines (F1, F2, F3) produisant des pièces. La probabilité que chaque usine produise une pièce est la suivante :

  • P(F1) = 0,3
  • P(F2) = 0,5
  • P(F3) = 0,2

La probabilité qu'une pièce soit défectueuse sachant qu'elle vient de chaque usine est :

  • P(D ∣ F1) = 0,01
  • P(D ∣ F2) = 0,02
  • P(D ∣ F3) = 0,03

En appliquant la formule de la probabilité totale, nous avons :
P(D) = P(D ∣ F1) ⋅ P(F1) + P(D ∣ F2) ⋅ P(F2) + P(D ∣ F3) ⋅ P(F3)
= 0,01 ⋅ 0,3 + 0,02 ⋅ 0,5 + 0,03 ⋅ 0,2
= 0,003 + 0,01 + 0,006
= 0,019

Donc, la probabilité qu'une pièce soit défectueuse est de 0,019 ou 1,9%.


2.2. La distribution normale centrée réduite

Le calcul des probabilités se base, en partie, sur les variables aléatoires.

Pour calculer les probabilités, on a recourt à la courbe normale centrée réduite, que l'on appelle aussi la courbe Z.

La courbe normale centrée réduite est une représentation graphique de la distribution normale standard, où toute variable aléatoire normale est transformée en une variable aléatoire \(Z\) avec une moyenne de \(0\) et un écart-type de \(1\). La transformation se fait par la formule :

$$Z = (X - μ) / σ $$

Où :

  • \(X\) : la valeur observée
  • \(\mu\) : la moyenne de la distribution
  • \(\sigma\) : l'écart-type de la distribution
Courbe Normale Centrée Réduite
Figure II.3.1 La distribution normale centrée réduite

La courbe normale centrée réduite est essentielle dans le calcul des probabilités car elle permet de standardiser différentes distributions normales, facilitant ainsi le calcul des probabilités associées. En utilisant la courbe Z, on peut déterminer la probabilité qu'une variable aléatoire se situe dans un certain intervalle en utilisant les tables de la distribution normale standard.

Exemple

Supposons que nous ayons une variable aléatoire X qui suit une distribution normale avec une moyenne \(\mu ~ = ~100\) et un écart-type \(\sigma ~= ~15\). Nous voulons calculer la probabilité que \(X\) soit inférieur à 115.

Nous transformons d'abord \(X\) en \(Z\) en utilisant la formule \(Z~ = ~(X - μ) ~/~ \sigma\) :

\(Z ~ = ~(115~ - ~100)~ / ~15~ = ~1\)

Ensuite, nous utilisons la table de la distribution normale standard pour trouver la probabilité que \(Z\) soit inférieur à 1 (il s'agit de la Table 2 de l' Annexe des Tables statistiques ).

Consultation de la Table de la Distribution Normale Standard

La table de la distribution normale standard nous donne la probabilité accumulée jusqu'à une certaine valeur de \(Z\). Pour \(Z~ =~ 1\), la table indique que \(P~(Z ~<~ 1) ~≈~ 0,8413\), ce qui signifie que la probabilité que X soit inférieur à 115 est d'environ \(84,13 \%\).

Z Probabilité P(Z < Z)
0.9 0.8159
1.0 0.8413
1.1 0.8643

Ainsi, la valeur de \(Z ~=~ 1\) correspond à une probabilité de \(0,8413\), ce qui signifie qu'il y a une probabilité de \(84,13 \%\) que la variable \(X\) soit inférieure à 115 dans cette distribution normale.

Visualisation de la Courbe Normale Centrée Réduite

Le graphique ci-dessous représente la courbe normale centrée réduite. La zone colorée sous la courbe correspond à la probabilité que \(Z\) soit inférieur à 1.

La transformation de \(X\) en score \(Z\) nous a permis de ramener le problème à une situation standardisée, où la moyenne est 0 et l'écart-type est 1. Ce processus de standardisation permet de comparer différentes distributions normales et de les analyser à l'aide de la même table de distribution, indépendamment de leurs moyennes et écarts-types spécifiques.

2.3. Générateur d'exercices

Le code suivant vous permet de tester vos connaissances sur les notions de probabilités vues jusqu'à présent, il se substitue ainsi aux Fiches qui ont l'habitude de faire leur apparition à la fin du contenu de chaque séance.

Le code est conçu pour générer un nombre illimité d'exercices de probabilités sur des thèmes comme la probabilité conditionnelle, la règle de somme, et la règle de produit. Chaque exercice est accompagné d'une solution et d'une explication que l'utilisateur peut révéler en cliquant sur les boutons appropriés.

Fonctionnement : Le code utilise des fonctions pour générer aléatoirement des exercices basés sur des modèles prédéfinis.

Exercice :

Cliquez sur "Générer Exercice" pour commencer.

3Introduction à l'analyse combinatoire

3.1. Définition de l'analyse combinatoire

L'analyse combinatoire est une branche des mathématiques qui étudie les méthodes de dénombrement, d'arrangement et de combinaison d'objets. Elle permet de déterminer de combien de façons différentes un ensemble d'éléments peut être organisé en respectant certaines règles et contraintes.

Les principes de base de l'analyse combinatoire incluent la règle de l'addition et la règle de la multiplication.

  • Règle de l'addition : Si une tâche peut être effectuée de \( n \) façons et une autre tâche de \( m \) façons, et que ces deux tâches ne peuvent pas être effectuées en même temps, alors il y a \( n + m \) façons de choisir l'une des deux tâches.
    Exemple : Si vous avez 3 types de desserts et 4 types de boissons, vous avez \( 3 + 4 = 7 \) choix possibles pour soit un dessert, soit une boisson.
  • Règle de la multiplication : Si une tâche peut être effectuée de \( n \) façons et une autre tâche de \( m \) façons, et que ces deux tâches peuvent être effectuées ensemble, alors il y a \( n \times m \) façons d'effectuer les deux tâches.
    Exemple : Si vous avez 3 chemises et 4 pantalons, vous avez \( 3 \times 4 = 12 \) tenues possibles.
3.2. Permutations
Définition et Formule

Une permutation est un arrangement de tous les éléments d'un ensemble dans un ordre spécifique. La formule pour calculer le nombre de permutations d'un ensemble de \( n \) éléments est donnée par :

\( n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 1 \)

Où \( n! \) est le "factoriel" de \( n \).

Permutations sans Répétition

Les permutations sans répétition concernent les arrangements d'éléments où chaque élément est unique et n'apparaît qu'une seule fois dans chaque arrangement.

Exemple :

Pour un ensemble de 3 éléments {A, B, C}, les permutations sans répétition sont :

  • ABC
  • ACB
  • BAC
  • BCA
  • CAB
  • CBA

Le nombre total de permutations est \( 3! = 6 \).

Permutations avec Répétition

Les permutations avec répétition concernent les arrangements d'éléments où certains éléments peuvent apparaître plusieurs fois.

La formule pour les permutations avec répétition est :

\( \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times ... \times n_k!} \)

Où \( n \) est le nombre total d'éléments, et \( n_1, n_2, ..., n_k \) sont les fréquences des éléments répétés.

Exemple :

Pour un ensemble de 3 éléments {A, A, B}, les permutations avec répétition sont :

  • AAB
  • ABA
  • BAA

Le nombre total de permutations est \( \frac{3!}{2!} = 3 \).

3.3. Arrangements
Définition et Formule

Un arrangement est une sélection de \( k \) éléments parmi \( n \) éléments d'un ensemble, où l'ordre compte. La formule pour calculer le nombre d'arrangements de \( n \) éléments pris \( k \) à la fois est donnée par :

\( A(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \)

Où \( n! \) est le "factoriel" de \( n \) et \( (n-k)! \) est le "factoriel" de \( n-k \).

Arrangements sans Répétition

Les arrangements sans répétition concernent les sélections d'éléments où chaque élément est unique et n'apparaît qu'une seule fois dans chaque arrangement.

Exemple :

Pour un ensemble de 3 éléments {A, B, C} pris 2 à la fois, les arrangements sans répétition sont :

  • AB
  • AC
  • BA
  • BC
  • CA
  • CB

Le nombre total d'arrangements est \( A(3, 2) = \frac{3!}{(3-2)!} = 6 \).

Arrangements avec Répétition

Les arrangements avec répétition concernent les sélections d'éléments où certains éléments peuvent apparaître plusieurs fois.

La formule pour les arrangements avec répétition est :

\( n^k \)

Où \( n \) est le nombre total d'éléments et \( k \) est le nombre d'éléments pris à la fois.

Exemple :

Pour un ensemble de 3 éléments {A, B, C} pris 2 à la fois, les arrangements avec répétition sont :

  • AA
  • AB
  • AC
  • BA
  • BB
  • BC
  • CA
  • CB
  • CC

Le nombre total d'arrangements est \( 3^2 = 9 \).

3.4. Combinaisons
Définition et Formule

Une combinaison est une sélection de \( k \) éléments parmi \( n \) éléments d'un ensemble, où l'ordre ne compte pas. La formule pour calculer le nombre de combinaisons de \( n \) éléments pris \( k \) à la fois est donnée par :

\( C(n, k) = \frac{n!}{k! \times (n-k)!} \)

Où \( n! \) est le "factoriel" de \( n \), \( k! \) est le "factoriel" de \( k \) et \( (n-k)! \) est le "factoriel" de \( n-k \).

Combinaisons sans Répétition

Les combinaisons sans répétition concernent les sélections d'éléments où chaque élément est unique et n'apparaît qu'une seule fois dans chaque sélection.

Exemple :

Pour un ensemble de 3 éléments {A, B, C} pris 2 à la fois, les combinaisons sans répétition sont :

  • AB
  • AC
  • BC

Le nombre total de combinaisons est \( C(3, 2) = \frac{3!}{2! \times 1!} = 3 \).

Combinaisons avec Répétition

Les combinaisons avec répétition concernent les sélections d'éléments où certains éléments peuvent apparaître plusieurs fois.

La formule pour les combinaisons avec répétition est :

\( C(n+k-1, k) = \frac{(n+k-1)!}{k! \times (n-1)!} \)

Où \( n \) est le nombre total d'éléments et \( k \) est le nombre d'éléments pris à la fois.

Exemple :

Pour un ensemble de 3 éléments {A, B, C} pris 2 à la fois, les combinaisons avec répétition sont :

  • AA
  • AB
  • AC
  • BB
  • BC
  • CC

Le nombre total de combinaisons est \( C(3+2-1, 2) = \frac{4!}{2! \times 2!} = 6 \).

3.5. Générateur d'exercices combinatoires

Le code suivant vous permet de tester vos connaissances sur les notions d'analyse combinatoire. Chaque exercice est accompagné d'une solution et d'une explication.

Exercice :

Cliquez sur "Générer Exercice" pour commencer.

upload-to-cloud Résumé

Dans cet enseignement, nous avons vu les concepts fondamentaux de la théorie des probabilités, de l'analyse combinatoire, et du calcul des probabilités. La séance vise à aider à comprendre et appliquer ces notions dans divers contextes .

Durant cette séance nous avons eu à définir les probabilités en insistant sur leur trait majeur qui traite de l'étude des phénomènes aléatoires et de la mesure de la vraisemblance des événements. Nous avons eu aussi à introduire le théme de l'analyse combinatoire comme l'étude des différentes façons d'organiser ou de sélectionner des objets dans un ensemble

Dans ce qui suit une revue des principaux concepts de la séance :

  • Espaces probabilisés : Structure mathématique définissant un univers d'événements et leur probabilité ;
  • Événements : Sous-ensembles de l'espace probabilisé représentant des résultats possibles ;
  • Probabilité conditionnelle : Probabilité d'un événement donné qu'un autre événement est déjà survenu ;
  • Indépendance : Deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un n'affecte pas la probabilité de l'autre ;
  • Variables aléatoires : Fonction qui associe un nombre réel à chaque résultat possible d'une expérience aléatoire ;
  • Lois de probabilité : Règles qui décrivent la distribution de probabilité d'une variable aléatoire ;
  • Espérance mathématique : Valeur moyenne attendue d'une variable aléatoire ;
  • Variance et écart-type : Mesures de la dispersion des valeurs d'une variable aléatoire autour de son espérance ;
  • Loi des grands nombres : Théorème stipulant que la moyenne des résultats d'un grand nombre d'épreuves tend vers l'espérance mathématique ;
  • Théorème central limite : Théorème indiquant que la somme (ou moyenne) de variables aléatoires indépendantes tend vers une distribution normale lorsque le nombre de variables est grand ;
  • Permutations : Manières d'organiser tous les éléments d'un ensemble dans un ordre spécifique ;
  • Combinaisons : Sélection d'éléments d'un ensemble sans considération de l'ordre ;
  • Arrangements : Sélection d'éléments d'un ensemble avec considération de l'ordre ;
  • Partitions : Division d'un ensemble en sous-ensembles disjoints.

books Bibliographie du Bloc

Le Support ne possède pas de bibliographie finale (dans sa version en ligne), les renvois sont insérés à la fin de chaque Bloc.

  • Albers, M. J. (2017). Introduction to quantitative data analysis in the behavioral and social sciences. John Wiley & Sons.
  • Baldi, P. (2024). Probability: An Introduction Through Theory and Exercises. Springer Nature.
  • Courgeau, D. (2012). Probability and social science: Methodological relationships between the two approaches. Dordrecht: Springer.
  • Dress, F. (2007). Les probabilités et la statistique de A à Z: 500 définitions, formules et tests d'hypothèse. Dunod.
  • Hurlin, C., & Mignon, V. (2022). Statistique et probabilités en économie-gestion-2e éd. Dunod.
  • Linde, W. (2024). Probability Theory: A First Course in Probability Theory and Statistics. Walter de Gruyter GmbH & Co KG.
  • Suárez, M. (2020). Philosophy of probability and statistical modelling. Cambridge University Press.

ask-questionQuestions de Synthèse

  • Quelle est la différence entre un événement certain, un événement impossible, et un événement aléatoire ?
  • Comment calcule-t-on la probabilité conditionnelle d'un événement ? Donnez un exemple concret.
  • Qu'est-ce que l'indépendance de deux événements ? Comment peut-on la vérifier ?
  • Qu'est-ce qu'une variable aléatoire et comment distingue-t-on une variable discrète d'une variable continue ?
  • Comment calcule-t-on l'espérance mathématique d'une variable aléatoire ? Quelle est son interprétation ?
  • En quoi consiste la loi des grands nombres et pourquoi est-elle importante en probabilité ?
  • Quelles sont les principales différences entre permutations, combinaisons, et arrangements ? Donnez un exemple pour chacun.
  • Combien y a-t-il de façons d'organiser les lettres du mot "PROBABILITÉ" ?

test-passedQ.C.M.

Le Q.C.M est composé de quinze questions qui se rapportent aux probabilités et à l'analyse combinatoire, pour visualiser et tester vos connaissances cliquez ICI :)

external-checklist-logistics-flaticons-lineal-color-flat-icons-3 Fiches du cours & TD

Cette séance ne possède pas de Fiches à télécharger, nous aurons l'occasion, durant la séance de travail dirigé consacrée à cette dernière, de revenir sur le calcul des probabilités et de l'analyse combinatoire à l'aide des générateurs d'exercices ainsi que du compilateur Python

path Pour aller plus loin

Pour aller un peu plus loin dans l'apprentissage des notions liées aux probabilités et à l'analyse combinatoire, vous pouvez consulter les documents et vidéos dont les liens suivent :

  • Ouvrage
    Cet ouvrage, détaille en toute simplicité, le contenu des thématiques liées aux probabilités ainsi qu'à l'analyse combinatoire en sciences humaines et sociales, l'ouvrage est consultable gratuitement sur cairn.info à partir de votre espace personnel : Lecoutre, J. P. (2019). Statistique et probabilités-7e éd.: Cours et exercices corrigés. Dunod.

  • Support de Cours
    Il s'agit du Support de Cours de monsieur Yves Tillé, largement consulté par les étudiants de diverses spécialités, un cours qui présente de manière concise les notions de probabilité et d'analyse combinatoire. Le Cours est en téléchargement libre en cliquant ICI :) .

  • Chaine YouTube
    La chaine explique à l'aide d'un nombre d'épisode l'essentiel des probabilités, à ajouter à votre liste

cell-phone Sur l'appli du cours

Sur l'Appli du Cours, vous trouverez le résumé du présent Bloc, ainsi que des séries de Travaux Dirigés qui lui sont liées.
On trouvera aussi des renvois à des contenus multimédias qui intéressent le Bloc.
Dans le volet de Notifications, une mise à jour est prévue, elle se fera suivant les questionnements formulés par les étudiants durant les séances de Cours et de Travaux dirigés.
Une mise à jour concerne aussi les examens des sessions précédentes que l'on corrigera dans les séances de travaux dirigés pour préparer les examens de l'année en cours.

chat Téléchargement du cours

En utilisant le lien ci-dessous, vous pouvez télécharger le Flipbook en format PDF : bookmark-ribbon

Le coin Python

Dans ce coin python, un tableau qui résume l'essentiel à connaître pour les calculs des probabilités et de l'analyse combinatoire sous python

Paramètre Code Python Exemple
Probabilité Simple 
p = nombre_evenements / nombre_total_possibilites
print(p)
 Soit une urne contenant 3 boules rouges et 7 boules bleues. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?
Calcul : p = 3 / 10 = 0,3
Explication : La probabilité est de 0,3 car il y a 3 boules rouges sur un total de 10 boules.
Probabilité Conditionnelle 
p_cond = p(A_et_B) / p(B)
print(p_cond)
 Soit A l'événement "tirer une boule rouge", et B l'événement "tirer une boule". Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge sachant qu'une boule a été tirée ?
Calcul : p_cond = 3/10 / 1 = 0,3
Explication : La probabilité reste de 0,3 car la boule a été tirée de l'ensemble total.
Règle de la Somme 
p_somme = p(A) + p(B) - p(A_et_B)
print(p_somme)
 Soit A l'événement "tirer une boule rouge" et B l'événement "tirer une boule bleue". Quelle est la probabilité de tirer soit une boule rouge soit une boule bleue ?
Calcul : p_somme = 0,3 + 0,7 - 0 = 1
Explication : La probabilité de tirer une boule rouge ou bleue est de 1, car ce sont les seules options possibles.
Règle du Produit 
p_produit = p(A) * p(B)
print(p_produit)
 Soit A l'événement "tirer une boule rouge" et B l'événement "tirer une boule rouge". Quelle est la probabilité de tirer deux boules rouges consécutivement ?
Calcul : p_produit = 0,3 * 0,2 = 0,06
Explication : La probabilité de tirer deux boules rouges successivement est de 0,06.
Arrangement 
from math import factorial
arrangement = factorial(n) / factorial(n - k)
print(arrangement)
 Soit un ensemble de 5 personnes, quelle est la manière d'organiser 3 d'entre elles ?
Calcul : arrangement = 5! / (5-3)! = 60
Explication : Il y a 60 façons différentes de choisir et organiser 3 personnes parmi un groupe de 5.
Permutation 
permutation = factorial(n)
print(permutation)
 Combien de façons différentes y a-t-il d'organiser 4 personnes ?
Calcul : permutation = 4! = 24
Explication : Il y a 24 façons différentes d'organiser 4 personnes.
Combinaison 
from math import comb
combinaison = comb(n, k)
print(combinaison)
 Soit un ensemble de 5 personnes, quelle est la manière de choisir 3 d'entre elles ?
Calcul : combinaison = C(5,3) = 10
Explication : Il y a 10 façons de choisir 3 personnes parmi un groupe de 5.
chat Forum de Discussion

Le forum vous permet d'échanger autour de cette séance, vous remarquerez la présence d'un bouton d'abonnement afin que vous puissiez suivre les discussions au sujet de la recherche en sciences humaines et sociales, c'est l'occasion aussi pour l'enseignant de répondre aux préoccupations et questions des étudiants.