Bloc III | Enseignements 1-6
L'inférence statistique

Introduction et Sommaire de la séance

Nous arrivons, dans ce dernier Bloc, à un point crucial de notre enseignement, un aspect de la recherche souvent mal traité par nos étudiants dans leurs travaux de fin de cycle. L'inférence statistique, comme signalée au tout début de ce Module, l'inférence statistique est un ensemble de méthodes qui permettent de tirer des conclusions sur une population à partir d'un échantillon de données observées. L'inférence repose sur un nombre de concepts que nous avons déjà abordé dans les deux Blocs précédents (théorie des probabilités, les distributions d'échantillonnage) et certians autres que nous allons voir dans le présent Bloc.

Remarque par rapport à l'organisation du Bloc .Les enseignements sont indissociables, ce qui fait que l'on a opté de parler du Bloc dans son ensemble, et qui contient six Enseignements, bien évidement, la logique reste la même que durant les enseignemets précédents. On a donc organisé ce Bloc en enseignements pour faciliter le suivi et la compréhension du contenu de cette dernière matière.

Nous débuterons par une étude approfondie de l'estimation et de l'échantillonnage, en mettant en lumière les notions de fluctuation d'échantillonnage, échantillon exhaustif et non-exhaustif, ainsi que les distinctions entre échantillons indépendants et appariés. Nous examinerons aussi la variable aléatoire, en passant par les méthodes d'estimation ponctuelle et d'estimation par intervalle de confiance. Nous introduirons également la loi binomiale comme un modèle fondamental pour l'analyse de variables discrètes.

Le test d'hypothèse sera une autre composante clé de ce cours, où nous explorerons les concepts de l'erreur type de la moyenne et de la théorie de la limite centrale, indispensables pour comprendre les hypothèses unicaudales et bicaudales. Les outils tels que les tableaux de contingence et le coefficient de contingence seront également présentés pour évaluer les relations entre variables catégorielles. Nous aborderons les notions de seuil de signification, de fréquences théoriques et observées, qui sont essentielles pour tester la validité des hypothèses.

L'analyse de la variance (ANOVA) sera discutée en détail, avec un accent sur la statistique F, la taille de l'effet, les différences intergroupes et intragroupes, ainsi que l'élaboration du tableau des sources de variance. Ce segment du cours permettra de comprendre comment les variations au sein des données peuvent être attribuées à différents facteurs.

La section sur la corrélation et la régression linéaire introduira des outils pour examiner les relations entre variables quantitatives. Nous étudierons le coefficient de corrélation, les modèles mathématiques de régression, et nous apprendrons à interpréter des diagrammes de dispersion (nuages de points), ainsi que les courbes d'ajustement et les droites de régression. Les concepts de variable indépendante et variable dépendante, ainsi que le coefficient de détermination, seront également abordés pour comprendre la force et la nature des relations linéaires entre les variables.

Enfin, nous conclurons avec les tests non paramétriques, où des méthodes telles que le test de Mann-Whitney, le test de Wilcoxon, le test de Kruskal-Wallis, et le test de Spearman seront explorées. Ces tests offrent des alternatives robustes aux tests paramétriques lorsque les hypothèses sous-jacentes ne sont pas satisfaites.

Objectifs de la séance

Dans cette séance, nous nous concentrerons sur les concepts clés de l'inférence statistique. Les objectifs de cette séance sont définis pour vous permettre de maîtriser les notions essentielles qui seront explorées tout au long de ce cours.

• Comprendre l'estimation et l'échantillonnage :
  Appréhender les méthodes d'estimation et les différents types d'échantillonnage, y compris les concepts de fluctuation d'échantillonnage, d'échantillon exhaustif et non-exhaustif.
• Différencier les types d'échantillons
  Apprendre à distinguer entre échantillons indépendants et appariés, et comprendre leur importance dans l'analyse statistique ;
• Maîtriser les méthodes d'estimation
  Acquérir des compétences dans l'estimation ponctuelle et l'estimation par intervalle de confiance, et comprendre l'utilisation de la loi binomiale pour l'analyse des variables discrètes ;
• Explorer les tests d'hypothèse
  S'initier aux concepts d'erreur type de la moyenne, de théorie de la limite centrale, et apprendre à formuler et tester des hypothèses unicaudales et bicaudales ;
• Utiliser les tableaux de contingence
  Comprendre comment analyser les relations entre variables catégorielles à l'aide des tableaux de contingence, du coefficient de contingence, et des notions de fréquences théoriques et observées ;
• Analyser la variance
  Étudier la statistique F, la taille de l'effet, les différences intergroupes et intragroupes, et savoir construire et interpréter un tableau des sources de variance ;
• Comprendre la corrélation et la régression linéaire
  Se familiariser avec la corrélation, la régression, et apprendre à utiliser le coefficient de corrélation, à construire des diagrammes de dispersion et des courbes d'ajustement, et à interpréter la droite de régression ;
• Explorer les tests non paramétriques :
  Découvrir les tests de Mann-Whitney, Wilcoxon, Kruskal-Wallis, et Spearman comme alternatives aux tests paramétriques dans des contextes spécifiques.

Concepts et thèmes à aborder durant le Bloc

Pour le présent Bloc, nous aborderons les concepts suivants (on a intégré le titre de chaque enseignement avant chaque groupe de concept) : l'Estimation échantillonnage, fluctuation d’échantillonnage, estimation, échantillon exhaustif, échantillon non-exhaustif, échantillons indépendants, échantillons appariés, variable aléatoire, estimation ponctuelle, estimation par intervalle de confiance, la loi binomiale. Le test d'hypothèse : l'erreur type de la moyenne, théorie de la limite centrale, hypothèse unicaudale, hypothèse bicaudale. Le test du \(\chi2\) : tableau de contingence, coefficient de contingence, seuil de signification, fréquence théorique, fréquence observée. L'analyse de la variance : la statistique F, taille de l'effet, différence intergroupe, différence intragroupe, tableau des sources de variance. La corrélation & la régression linéaire : La corrélation, la régression, le coefficient de contingence, modèle mathématique, diagramme de dispersion, (nuage de ponts), la courbe d'ajustement, la droite de régression (droite des moindres carrés), la droite de tendance (dans le cas d'une série chronologique), variable indépendante, variable dépendante, incidence, liaison linéaire, coefficient de détermination. Les tests non paramétriques Le test de Mann et Whitney, Le test de Wilcoxon, Le test de Kruskal et Wallis, Le test de Spearman.

L'inférence sert à comprendre et, ou à, prendre une décision par rapport à un phénomène donné. L'ensemble des règles et techniques servant à opérer des inférences, est rassemblé sous l'appélation de tests statistiques. Les tests statistiques ont pour objectif de vérifier la validité d'une hypothèse préalablement établie. On peut aussi introduire la notion d'inférence statistique en la considérant comme un processus consistant à tirer des conclusions générales (sur la population) à partir de la mesure, non précise, quelque peu imparfaite, d'une information tirée à partir d'elle (donc de l'échantillon, ou des échantillons). Les tests d'hypothèses ne peuvnet pas attester de la véracité d'une hypothèse, mais peuvent affirmer sa fausseté.

L'erreur d'inférence en statistique se produit lorsque les conclusions tirées d'un échantillon sont incorrectement généralisées à l'ensemble de la population. Il existe deux types principaux d'erreurs d'inférence :

• Erreur de type I (erreur alpha)
  C'est l'erreur qui se produit lorsque l'on rejette une hypothèse nulle alors qu'elle est en réalité vraie. En d'autres termes, on conclut à tort qu'il existe un effet ou une différence alors que ce n'est pas le cas. Le niveau de signification (alpha) est la probabilité de commettre cette erreur.
• Erreur de type II (ou erreur bêta)
  C'est l'erreur qui se produit lorsque l'on ne rejette pas une hypothèse nulle alors qu'elle est en réalité fausse. Cela signifie que l'on manque un effet ou une différence qui existe réellement. La puissance statistique (1 - bêta) est la probabilité de ne pas commettre cette erreur.

Ces erreurs sont inévitables en statistique car elles sont liées à l'incertitude inhérente à l'échantillonnage. L'objectif est de minimiser ces erreurs autant que possible en choisissant un niveau de signification approprié et en utilisant des échantillons suffisamment grands.

On dira, dans un autre contexte que vérifier une hypothèse renvoie au fait de la confronter à une hypothèse nulle. On parle d'acceptation ou de rejet de l'hypothèse nulle lorsque les différences observées entre échantillons ou entre échantillon et sa populationest plus élevé qu'une différence dite typique.

L'échantillon est un moyen d'appréhender la population, puisque l’on n’a pas accès à cette dernière [ gardons en tête que parfois même en ayant accès, il y a des coûts souvent élevés et beaucoup de temps à y consacrer et un risque de produire des données non valides ]. L'extraction de plusieurs échantillons (de taille \(n\) ) ne résout pas le problème, puisque les résultats que l'on obtiendra varieront d'un échantillon à l'autre, c'est ce que l'on désigne par le nom de fluctuation d'échantillonnage.

Dans la présente séance, nous traiterons de deux types d'estimation : l'estimation ponctuelle et l'estimation par intervalle de confiance . Il va sans dire que nous avons limité le contenu de cette séance aux seules informations qui intéressent les recherches en sciences humaines et sociales. D'autres catégories et types d'estimations sont traités dans des manuels plus approfondis.

Pour avoir des informations de la population à partir de l'échantillon, on procède à ce que nous nommons l'estimation, un échantillonnage est non-exhaustif si le tirage des \(n\) individus qui constituent l'échantillon sont tirés avec remise, dans le cas contraire, il est dit exhaustif.

Un échantillon pertinent est un échantillon représentatif de la population à partir de laquelle il a été tiré, il reproduit le plus fidèlement possible les catégories d'intérêt de l'étude et être tiré de manière aléatoire.

Échantillons indépendants, Échantillons appariés . on dit que les échantillons sont indépendants lorsqu'ils sont constitués d'individus différents, on dit que les échantillons sont appariés lorsque les individus sont associés deux à deux [donner un exemple historique].

1.1. L'estimation ponctuelle non biaisée

Dans cette séance ainsi que celles qui vont suivre, nous allons travailler sur les tests d'hypothèses. Nous avons voulu donc rassembler dans le présent enseignement deux séances, à savoir une introduction aux tests d'hypothèse (qui vue l'espace qu'il occupe ainsi que l'intérêt que nous luis portant en sciences humaines et sociales allait sans que nous lui réservions une séance complète d'enseignement ) et le test t de Student (lequel utilisé dans sa version la plus courte ne nécessitait pas aussi de lui consacrer une séance toute entière).

Nous débuterons notre séance par l'étude du test d'hypothèse, puis les enseignements qui vont suivre sont tous dédiés à cette partie de l'analyse des données.

2.1. Le test d'hypothèse

Un test d'hypothèse est une procédure statistique utilisée pour évaluer la validité d'une hypothèse concernant une population à partir d'un échantillon de données. Le processus implique les étapes suivantes :

2.2. Le test d'hypothèse \(t\)

Le test t permet de déduire si deux échantillons sont statistiquement différents [ provenant d'une seule population ou de deux populations différentes ]. Nous devons le test à Gosset, dont le travail consistant à faire des inférences sur de petits échantillons.

Le travail de Gosset était de construire une population répondant à la loi normale, puis de calculer sa moyenne \(\mu\). Gosset a eu recours à un échantillonnage avec remise (vue dans le Bloc 2 : séance 2.3.) et a procédé à l'extraction d'une centaine d'échantillons de petite et même taille. Pour chaque échantillon, sa moyenne \(M_i\) est calculée, et a procédé à sa comparaison avec a moyenne, connue, de la population, et ce en estimant la différence \((M_{i} - \mu)\).

L'idée, originale, de Gosset fut de poser un postulat stipulant que : puisque les échantillons sont extraits d'une même population, Gosset affirmait que la différence entre les moyennes et la moyenne de la population soit égale à \(0\). Cependant, affirmait Gosset, l'erreur d'échantillonnage fait que le résultat ne soit pas nul, à ce titre il calcule l'erreur type de la moyenne qu'il définit à l'aide de la formule suivante : $$ S_m = \frac {s}{\sqrt{N}} $$ Le calcul proposé par Gosset décrit la distance qui existe entre la moyenne de l'échantillon et celle de la population comparativement à l'erreur type de la moyenne .

Gosset construit donc une nouvelle distribution, le distribution t à l'aide d'un nombre très élevé de petits échantillons, la distribution obtenue est unimodale

Le test t concerne de petits échantillons \(n \leq 30\) ; comme nous l'avons vu précédemment, l'erreur type de la moyenne tend à devenir plus faible lorsque augmente la taille de l'échantillon. Lorsqu'un échantillon est de taille \(n \geq 30\), la distribution de la moyenne tend à ressembler à celle de la distribution normale.

3.1. Introduction et rappels

Le test du \(\chi2\) est un test de conformité visant à comparer une loi théorique à une distribution expérimentale.

Avant de déterminer la relation entre les variables, le chercheur doit démontrer qu’une d’entre elle dépend de l’autre. Pour ce faire, il doit déterminer la nature des variables en jeu.

Pour le chercheur en sciences sociales, il s’agira surtout de déterminer l’influence des variables de segmentation (variables factuelles ou socioéconomiques) sur les variables dépendantes. Les tests d’hypothèse permettent de confirmer si la relation observée entre deux variables est significative ou si elle est due au hasard.

L’une des questions que se pose tout chercheur débutant est de savoir comment fait-on le choix des variables à étudier. Une grande partie des informations qui aident le chercheur à choisir l’association entre les variables s’est faite lors des précédentes étapes de la recherche. Il reste néanmoins au chercheur d’effectuer d’autres types d’associations à la lumière de son enquête de terrain.

En sciences sociales, on parle généralement de trois types de relations de dépendances : la causalité, la concomitance (la cooccurrence) et l’interdépendance.

Cette présentation des types de liaison entre les variables fait appel à certaines notions que nous avons vues dans la séance précédente (Le test d'hypothèse), nous allons dans les lignes qui suivent revoir et compléter ces notions par d'autres qui nous servirons à bien assimiler le test du \(\chi 2\). Nous nous tournons donc au divers types de relation dans un test d'hypothèse.

Ces définitions nous permettent de revoir la signification du test que l'on a abordé durant la séance précédente. On fera un exposé plus détaillé de la signification du concept de test statistique ainsi que d'autres concepts s'y rattachant.

Note Ce détour est fait dans l'intention de clarifier le vocabulaire lié aux tests statistiques, on a préféré donc ne pas sectionner cette partie de la séance.

3.2. Les deux familles de tests d’hypothèse

On distingue deux grandes orientations des tests statistiques : les tests paramétriques et les tests non paramétriques .

3.3. Le test d’indépendance

3.4. Le tableau de contingence (distribution conjointe)

Pour étudier la relation entre deux variables, il faut établir un tableau de distribution conjointe (également appelé tableau de contingence ou tableau à double entrées). Le tableau de contingence est issu de la compilation des données brutes recueillies sur le terrain d’enquête.

Un tableau de contingence (on dit aussi table de contingence), est un tableau dans lequel sont classifiés les différentes caractéristiques (attributs) de la population (ou de l’échantillon). L’intérêt d’un tableau de contingence étant l’étude et la découverte de relations (si elles existent) entre les attributs considérés.

L’utilisation du terme de contingence est l’œuvre du mathématicien britannique Karl Pearson (1857-1936), pour qui la contingence est une mesure de la déviation totale par rapport à l’indépendance, plus forte est la mesure de la contingence plus forte sera la quantité d’association ou de corrélation entre les attributs (Pearson, 1904).

3.5. Les étapes du test d’indépendance du khi-carré

3.6. La force de la relation entre les variables :

3.7. Facteur de correction du coefficient de contingence :

Petite conclusion

• Quand le tableau croisé se compose exactement de deux lignes et de deux colonnes on emploie le test exact de Fisher et le test Khi-carré de Yates corrigé ;
• Quand le tableau est composé de plus de deux lignes et de deux colonnes, on utilise le khi-carré de Pearson ou le Khi-carré de vraisemblance ;
• Lorsque les deux variables sont quantitatives on aura recours au test de variables Cochran-Mantel-Haenszel ;
• Le test de corrélation de Pearson prend en charge la seule relation entre des variables quantitatives ;
• Si les variables sont nominales : en plus du Khi-carré, on peut recourir au coefficient de contingence (c) [vue ci-avant], le coefficient Phi [pour les variables dichotomisées ou dichotomiques] et le coefficient V de Cramer [vu aussi en Bloc II, Séance 2.] ;
• Le test du risque : concerne uniquement un tableau croisé avec deux lignes et deux colonnes.

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L'analyse de la variance

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Introduction et mise en contexte

L'ANOVA, à la différence du test T, permet d'analyser les différences entre deux groupes et plus, quelle que soit leur taille. Il n'y a pas de limite technique au nombre de groupes pouvant être concernés par le test.

Comme nous allons le discuter ci-après, l'ANOVA opère une comparaison entre deux types de différences (différences intergroupes et différences intragroupes), afin de rendre compte de ces différences. L'un des outils les plus puissants en statistiques étant de calculer la variance, on calculera donc deux types de variances, variance intergroupe, variance intragroupe, et c'est cette comparaison qui donne lieu à l'appellation : analyse de la variance.

Nous allons à présent expliquer les termes de la statistique F, à savoir : la variance intergroupe et la variance intragroupe.
La variance intergroupe peut être considérée comme une différence moyenne entre les moyennes de chaque groupe et la moyenne des moyennes (on appelle cette dernière la grande moyenne car représentant la moyenne de tous les groupes).
La variance intragroupe est, comme nous l'avons vu au Bloc 2, Enseignement 1.3, la différence entre chaque observation et la moyenne de son propre groupe.

Lorsque l'on suit cet ordre, on arrive à la formule suivante :

\[ F = \frac{\frac{1}{k-1} \sum_{i=1}^{k} n_i \left(\overline{X}_i - \overline{X}_\text{total}\right)^2}{\frac{1}{N-k} \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} \left(X_{ij} - \overline{X}_i\right)^2} \]

Les termes de la formule sont définis comme suit :

• \(k\) : Nombre de groupes.
• \(n_i\) : Nombre d'observations dans le groupe i.
• \(\overline{X}_i\) : Moyenne des observations dans le groupe i.
• \(\overline{X}_\text{total}\) : Moyenne de toutes les observations (grande moyenne).
• \(N\) : Nombre total d'observations.
• \(X_{ij}\) : Observation j dans le groupe i.

Tentons à présent d'expliquer la formule de la statistique \(F\) de manière plus détaillée, en nous servant d'un exemple en sciences de l'information et de la communication pour en faciliter la compréhension.

Une étude porte sur l'efficacité de trois stratégies de communication sur les réseaux sociaux : stratégie visuelle (groupe 1), stratégie textuelle (groupe 2), et stratégie mixte (groupe 3). Nous mesurons l'engagement des utilisateurs (likes, partages, commentaires) pour chaque stratégie. Dans la séance de travaux dirigés consacrée à cette séance, nous allons fournir un exemple plus détaillé, à partir de données brutes.

4.2. La moyenne globale \(\overline{X}_\text{total}\)

Le calcul de la moyenne globale sert de meilleure estimation de la moyenne de tous les groupes, puisque l'hypothèse nulle affirme que les groupes proviennent tous de la même population. De ce fait, \(\overline{X}_\text{total}\) représente, théoriquement, la meilleure estimation de \(\mu\), la moyenne de la population (certains auteurs préfèrent l'appellation : grande moyenne).
Nous calculons la moyenne globale de la façon suivante : $$\overline{X}_\text{total} = \sum_{i=1}^{k} \frac{\overline{X_i}}{k}$$ où \(\overline{X}_\text{total}\) est la grande moyenne, \(\overline{X_i}\) est la moyenne obtenue dans chaque groupe i, et k est le nombre de groupes.
Dans notre exemple, supposons que les moyennes obtenues pour chaque stratégie soient respectivement \(\overline{X}_1 = 25\), \(\overline{X}_2 = 30\), et \(\overline{X}_3 = 20\). La moyenne globale est donc : $$\overline{X}_\text{total} = \frac{25 + 30 + 20}{3} = 25$$ Cette moyenne constitue la meilleure estimation que nous avons de la moyenne \(\mu\) de la population.

4.3. La différence entre les groupes

On appelle cette différence la somme des carrés intergroupe \(SC_{inter}\).
Puisque nous avons le résultat de la grande moyenne \(\overline{X}_\text{total}\), nous pouvons donc calculer la différence entre la moyenne de chaque groupe et cette grande moyenne : \(\overline{X_i} - \overline{X}_\text{total}\). On peut donc aussi calculer la somme de toutes les différences obtenues : \(\sum \overline{X_i} - \overline{X}_\text{total}\). Bien évidemment, nous devons pondérer chaque différence pour donner de l'importance aux groupes contenant le plus d'observations : \(\sum n_{i} \overline{X_i} - \overline{X}_\text{total}\), en partant du principe que les échantillons contenant le plus d'observations donnent une estimation plus précise.
Une fois cette somme calculée, nous aurons ce que nous appelons : la somme des écarts intergroupe : $$ \sum_{i=1}^{k} n_i \left(\overline{X}_i - \overline{X}_\text{total}\right) $$ Dans notre exemple, si nous avons 10 observations pour chaque stratégie, alors : $$ SC_{inter} = 10(25 - 25)^2 + 10(30 - 25)^2 + 10(20 - 25)^2 = 0 + 500 + 500 = 1000 $$

Pour ne pas avoir une somme nulle, on met chaque différence au carré pour obtenir la somme des carrés intergroupe \(MS_{inter}\) : $$ MS_{inter}= \sum_{i=1}^{k} n_i \left(\overline{X}_i - \overline{X}_\text{total}\right)^2$$ Dans notre exemple : $$ MS_{inter} = 1000 $$

On ne peut pas utiliser cette moyenne brute, car elle fait intervenir deux éléments : la différence entre chaque moyenne et la moyenne globale ainsi que le nombre de groupes. Pour ce faire, nous calculons la différence moyenne entre les groupes en divisant \(MS_{inter}\) par le nombre de degrés de liberté entre les groupes : \(dl_{inter} = k-1\) (\(k\) étant le nombre de groupes). Nous obtenons donc : $$ CM_{inter} = \frac{MS_{inter}}{dl_{inter}} = \frac{1000}{3-1} = 500 $$

4.4. La différence intragroupe

Dans chaque échantillon, il existe des variations dans les observations. Cette variabilité peut être calculée à l'intérieur de chaque groupe (échantillon) en calculant la somme des carrés intragroupe à l'aide de la formule suivante :

$$MS_{intra} = \frac{1}{N-k} \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} \left(X_{ij} - \overline{X}_i\right)^2$$

Dans cette formule :

• \(N\) est le nombre total d'observations ;
• \(k\) est le nombre de groupes ;
• \(X_{ij}\) est l'observation j dans le groupe i ;
• \(\overline{X}_i\) est la moyenne du groupe i.




Remarque : La double sommation \(\sum \sum\) signifie que nous devons d'abord sommer les différences au carré entre chaque observation \(X_{ij}\) et la moyenne de son propre groupe \(\overline{X}_i\), puis sommer toutes les quantités obtenues. Cette étape permet de calculer la somme des carrés intragroupe. Cette valeur peut ensuite être divisée par le nombre total d'observations (N) moins le nombre de groupes (k), afin d'obtenir la moyenne de la somme des carrés intragroupe \(CM_{intra}\). Dans notre exemple, si nous avons :

• Pour la stratégie visuelle : \(SC_{intra_1} = 200\)
• Pour la stratégie textuelle : \(SC_{intra_2} = 300\)
• Pour la stratégie mixte : \(SC_{intra_3} = 250\)


La somme totale des carrés intragroupe est donc : $$SC_{intra} = 200 + 300 + 250 = 750$$ La moyenne des carrés intragroupe est donc : $$CM_{intra} = \frac{750}{30 - 3} = 27.78$$

4.5. Le test \(F\) et sa signification

Une fois les variances intergroupe et intragroupe calculées, nous pouvons calculer la statistique F, qui est le rapport entre les deux : $$ F = \frac{CM_{inter}}{CM_{intra}} = \frac{500}{27.78} \approx 18.00 $$ Une statistique F élevée indique que les différences observées entre les moyennes des groupes sont plus grandes que celles attendues par hasard, ce qui suggère que les groupes ne proviennent probablement pas de la même population.

Explication de la table F et interprétation des résultats

Pour interpréter la statistique F que nous avons calculée (\(F \approx 18.00\)), il est nécessaire de la comparer à une valeur critique provenant de la table de distribution \(F\) [ Table 7 : Lois de Fisher-Snedecor (\(\alpha = 0.05\)) , de l'Annxe Statistique ] , aussi appelée table F de Fisher-Snedecor. Cette table nous donne la valeur critique en fonction des degrés de liberté intergroupe (\(df_{inter} = k - 1\)) et intragroupe (\(df_{intra} = N - k\)) ainsi qu'un seuil de signification \(\alpha\), généralement fixé à 0,05.

Dans notre exemple :

• \(df_{inter} = 3 - 1 = 2\)
• \(df_{intra} = 30 - 3 = 27\)
• \(\alpha = 0,05\)

Voici un extrait de la table F pour \(\alpha = 0,05\) :

\(v_{2}\) \(v_{1}\)	1	2	3
20	4.351	3.492	3.098
21	4.324	3.466	3.072
22	4.300	3.443	3.049




En consultant cette table, pour \(\alpha = 0,05\), \(df_{inter} = 2\), et \(df_{intra} = 27\), nous trouvons une valeur critique \(F_{critique}\) d'environ 3,35. Étant donné que notre \(F \approx 18.00\) est bien supérieur à cette valeur critique, nous rejetons l'hypothèse nulle, ce qui suggère que les différences entre les groupes sont statistiquement significatives. Autrement dit, la stratégie employée pour attirer l'attention des utilisateurs (visuelle, textuelle, ou mixte) a un effet significatif sur le taux de clics.

Graphique illustratif

Un graphique en boîte à moustaches permet de visualiser la distribution des données pour chaque groupe :

Figure III.4.1. : Boîte à moustaches de la distribution.

Remarque. L'analyse de la variance factorielle

L'ANOVA factorielle généralise la procédure de l'ANOVA à un facteur, elle rend compte de l'impact, à la fois, simple et conjoint (que l'on désigne par l'appellation : interaction), sur une variable dépendante de plusieurs variables indépendantes [ les variables indépendantes possèdent un nombre, théoriquement illimités, de niveau ainsi que des échantillons de toutes tailles.

Nous nous limiterons, pour le besoins du présent enseignement, dans la séance de travail dirigé prévu à cet effet, à l' ANOVA à deux facteurs afin d'examiner l'impact de chacune des deux variables indépendantes ainsi que leur impact conjoint sur la variable dépendante.

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La corrélation & la régression linéaire

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La corrélation

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Dans une étude, le chercheur peut être confronté à l'examen de la relation entre deux variables quantitatives, il s'agira alors de vérifier la possible liaison en confrontant les deux variables considérées à une représentation graphique ou à un calcul numérique. Nous abordons dans le présent enseignement, la manière de rendre compte de la relation entre deux variables quantitatives. Dans le cas d'une relation entre deux variables quantitatives, on cherche à établir l'existence d'une relation linéaire pour exprimer cette dernière à l'aide d'un modèle mathématique.

5.1. La relation entre deux variables quantitatives

Dans le cadre d'une recherche, il se peut que la relation entre deux variables quantitatives provienne de la théorie considérée, on est alors face à une hypothèse de départ dont il s'agira de vérifier la véracité ou l'exactitude au niveau de notre propre enquête. D'un autre côté, il peut aussi s'agir de l'examen d'une possible relation entre les deux variables dont l'évolution logique de la recherche a interpellé le chercheur au point de mettre à l'essai cette relation.

En analyse de données, le concept de corrélation renvoie à un procédé par le biais duquel on pourra quantifier le degré de liaison qui existe entre les variables.

Remarque : Notons qu'un travail soutenu par l'utilisation d'un logiciel d'analyse de données permet plus facilement de mettre à jour les possibles relations entre les variables de la recherche.

Si l'on révèle l'existence d'une relation entre deux variables quantitatives, on dit qu'il y a corrélation.

L'existence d'une corrélation entre deux variables quantitatives \(x\) et \(y\) nous permet de prédire \(y\) à partir de \(x\).

On dira alors que \(y\) est fonction de \(x\), mathématiquement, cela revient à écrire:

$$ y = \Large{f} \normalsize{(x)}$$

\(y = \Large{f} \normalsize{(x)}\) est une fonction mathématique où \(y\) est la variable indépendante et \(x\) la variable dépendante (explicative).

Nous utilisons la corrélation de Pearson car étant la plus élaborée et renseignant sur la magnitude ainsi que la direction de la relation.

La corrélation de Pearson est un procédé dont l'objectif est de produire un Coefficient rendant compte du degré de liaison entre deux variable quantitatives (variables à échelles de mesures d'intervalle ou de rapports), elle produit un coefficient dont la valeur varie de -1 à +1.

Remarque : La corrélation de Pearson mesure le degré de cohérence entre les valeurs étalons Z obtenues sur deux mesures, ce qui donne une autre formule du coefficient : \( r_{x,y} = \frac {\sum_{i=1}^{N} Z_{x_i} Z_{y_i}} {N-1} \). Nous discuterons de cette variante durant la séance consacrée à cet enseignement.

Il faudrait donc pour point de départ déterminer l'intensité de la relation entre les variables.

5.2. Le diagramme de dispersion

Dans le cadre de l'examen d'une relation entre deux variables quantitatives, le nuage de points (auquel certains préfèrent l'appellation de : diagramme de dispersion) est l'outil graphique adéquat.

Si l'on représente les couples \((x_i ;y_i)\) graphiquement, on obtient ce que l'on appelle un nuage de points \((x_1 , y_1) , (x_2 , y_2) , (x_3 , y_3) , ...., (x_n , y_n)\) .

Définition III.5.1 : Le test \(t\)

Un diagramme de dispersion, ou nuage de points, est un outil graphique essentiel en analyse statistique, particulièrement utilisé pour explorer et visualiser les relations entre deux variables quantitatives. Chaque point dans ce diagramme représente une observation dans l'ensemble de données, où la position horizontale du point correspond à la valeur de la première variable (souvent notée \(X\)) et la position verticale à la valeur de la deuxième variable (souvent notée \(Y\)).
Le diagramme de dispersion peut être enrichi par des éléments supplémentaires tels que des lignes de tendance, des intervalles de confiance, ou des couleurs pour différencier des sous-groupes de données, ce qui permet une analyse plus approfondie des relations étudiées.

C'est à partir du constat fourni par le diagramme de dispersion que nous allons procéder à l'écriture de la formule de la droite de régression , que l'on appelle aussi droite de tendance, ou droite d'ajustement (cette droite est issue de la méthode des moindres carrés ).

Dans ce qui suit, des exemples de diagrammes de dispersion avec le type et la nature de la relation qu'ils montrent.

Types et nature de relations dans un Diagramme de Dispersion

Corrélation positive

Remarque : Ce diagramme montre une corrélation positive où les valeurs augmentent ensemble. Cela signifie que lorsque la variable X augmente, la variable Y tend également à augmenter.

Corrélation négative

Remarque : Ce diagramme montre une corrélation négative où les valeurs varient en sens inverse. Cela signifie que lorsque la variable X augmente, la variable Y tend à diminuer.

Relation linéaire et positive

Remarque : Ce diagramme illustre une relation linéaire positive. Les points se distribuent le long d'une droite ascendante, indiquant une augmentation proportionnelle des variables.

Relation linéaire et négative

Remarque : Ce diagramme illustre une relation linéaire négative. Les points se distribuent le long d'une droite descendante, indiquant une diminution proportionnelle d'une variable par rapport à l'autre.

Relation non linéaire

Remarque : Ce diagramme montre une relation non linéaire. Les points suivent une courbe, indiquant une relation quadratique entre les variables, où les changements dans Y ne sont pas proportionnels à ceux dans X.

Absence de relation

Remarque : Ce diagramme montre une absence de relation. Les points sont dispersés sans tendance apparente, ce qui indique qu'il n'y a pas de corrélation significative entre les variables X et Y.

5.3. L'intensité de la relation

Une corrélation entre deux variables \(x\) et \(y\) existe si à chaque fois les valeurs de \(x\) \( (x_{1} , x_{2}, ....... x_{i}) \) sont proches de les unes des autres et les valeurs de \(y\) \( (y_{1} , y_{2}, ....... y_{j}) \).

La courbe d'ajustement

La courbe d'ajustement est celle que l'on trace et qui s'approche le plus et le plus mieux des points. (voir les exemples précédents)

La courbe est dite de régression (ou d'estimation ) si elle est rectiligne. La droite de régression caractérise la relation linéaire entre les variables.

La relation linéaire entre deux variables \(x\) et \(y\) s'exprime par la formule suivante:

$$ y = a x + b $$

où \(a\) et \(b\) sont des constantes à définir.

Le sens d'une relation linéaire

• Une relation est dite positive lorsque les deux variables varient dans le même sens, cette relation est caractérisée par une droite croissante, la relation est dite directe ;
• La relation est négative (inverse) si la droite de régression est décroissante (descendant de gauche à droite) ;
• Une droite de régression qui tend à être horizontale témoigne de l'absence de toute relation. Ce qui ne signifie pas que les deux variables ne sont pas liées par une autre forme de relation .

5.4. La covariance

Pour savoir si deux variables quantitatives sont liées, ou non, on calcul la covariance Cov (x, y).

La covariance du couple (x, y) est la moyenne des produits des écarts aux moyennes \(\bar{x}\) et \(\bar{y}\).

$$ Cov_{xy} = \frac {1} {n} {\sum\limits_{i=1}^{n}} ({x_i} - \bar{x}) \times ({y_i} - \bar{y}) $$


La valeur obtenue n'aura pas de signification particulière, c'est son signe qui importe la plus.

On peut simplifier la précédente formule afin d'obtenir la suivante :

$$ Cov_{xy} = \frac {1} {n} {\sum\limits_{i=1}^{n}} {x_i} {y_i} - \bar{x} \bar{y} $$




5.5. Le coefficient de corrélation linéaire

Une fois avoir analysé le nuage de points représentant les deux variables, on procède au calcul du coefficient de corrélation linéaire (noté \(r\)) qui calcul l'écart entre la droite de régression et le nuage de points.

Plus les points sont proches de la droite, plus élevé sera le coefficient, et inversement. La corrélation permet de déterminer l'existence d'une coïncidence, d'une relation, entre deux variables.

En statistiques, le concept de corrélation renvoie à un procédé par le biais duquel on pourra quantifier le degré de liaison qui existe entre les variables.

La dispersion des points du nuage autour de la droite de régression est mesurée par la variance résiduelle autour de la droite de régression. Nous avons recours à la corrélation de Pearson, car étant la plus élaborée.

La corrélation de Pearson

Définition III.5.2 : La corrélation de Pearson

La corrélation de Pearson est un procédé dont l'objectif est de produire un coefficient rendant compte du degré de liaison entre deux variables. La corrélation de Pearson s'applique sur des variables à échelles de mesure d'intervalle ou de rapport, produisant un coefficient dont la valeur varie de -1 à +1.
La corrélation de Pearson mesure le degré de coïncidence entre les valeurs étalon Z, obtenues sur deux mesures.

Calcul de la corrélation de Pearson

On dispose de deux formules, l'une avec la valeur étalon Z et l'autre avec les variables

Calcul de la corrélation de Pearson avec la valeur étalon Z:

$$ r_{xy} = \frac {\sum\limits_{i=1}^{n} Z_{xi} \times Z_{yi}} {N-1} $$



Calcul de la corrélation de Pearson avec les variables:

$$ r = \frac {n(\sum x_{i}y_{i}) - (\sum x_{i})(\sum y_{i})} {\big[(n\sum {x_{i}}^2) - ({\sum x_{i}})^2\big] \big[(n\sum {y_{i}}^2) - (\sum {y_{i}})^2\big]} $$



On peut simplifier le calcul du coefficient du calcul de corrélation comme suite:

Pour une population: \( r = \frac {\sum x_{i}y_{i} ~- ~N \mu_{x} \mu_{y}} {N \sigma_{x}\sigma_{y}}\)

Pour un échantillon: \( r = \frac {\sum x_{i}y_{i} ~- ~n \bar{x} \bar{y}} {(n-1) s_{x} s_{y}}\)

L'interprétation des résultats du coefficient de Pearson se fait à l'aide du tableau suivant :

Valeur de \( r \)	Interprétation
\( r = 1 \)	Corrélation linéaire parfaite positive
\( 0.7 \leq r < 1 \)	Corrélation forte positive
\( 0.5 \leq r < 0.7 \)	Corrélation modérée positive
\( 0.3 \leq r < 0.5 \)	Corrélation faible positive
\( 0 \leq r < 0.3 \)	Corrélation très faible ou négligeable positive
\( r = 0 \)	Aucune corrélation linéaire
\( -0.3 \leq r < 0 \)	Corrélation très faible ou négligeable négative
\( -0.5 \leq r < -0.3 \)	Corrélation faible négative
\( -0.7 \leq r < -0.5 \)	Corrélation modérée négative
\( -1 < r < -0.7 \)	Corrélation forte négative
\( r = -1 \)	Corrélation linéaire parfaite négative

Table III.5.1. Interprétation des résultats du coefficient de corrélation de Pearson

Le coefficient de détermination

Pour mesurer la force d'une relation linéaire entre deux variables, on calcule le coefficient de détermination, il est donné par la formule suivante :

$$ Le~ Coefficient ~ de ~ Détermination = ~ {r_{xy}}^2 \times 100 \% $$
Le coefficient de non détermination :
Coefficient de Non-Détermination (\(1 - R^2\)) : Il mesure la proportion de la variance totale dans la variable dépendante qui reste non expliquée après avoir pris en compte l'effet des variables indépendantes. En d'autres termes, il indique la quantité de variance dans la variable dépendante qui ne peut pas être attribuée au modèle de régression.


Exemple

Supposons que nous voulons analyser la relation entre la durée d'utilisation quotidienne d'une plateforme de médias sociaux et le niveau de satisfaction des utilisateurs. La satisfaction est mesurée sur une échelle de 0 à 10, où 0 indique aucune satisfaction et 10 indique une satisfaction maximale. La durée d'utilisation est mesurée en heures par jour.

Les données pour 6 utilisateurs sont les suivantes :

• Utilisateur 1 : Heures = 2, Satisfaction = 4
• Utilisateur 2 : Heures = 3, Satisfaction = 5
• Utilisateur 3 : Heures = 4, Satisfaction = 6
• Utilisateur 4 : Heures = 5, Satisfaction = 7
• Utilisateur 5 : Heures = 6, Satisfaction = 8
• Utilisateur 6 : Heures = 7, Satisfaction = 9

• Calcul des produits croisés :
• Utilisateur 1 : 2 × 4 = 8
• Utilisateur 2 : 3 × 5 = 15
• Utilisateur 3 : 4 × 6 = 24
• Utilisateur 4 : 5 × 7 = 35
• Utilisateur 5 : 6 × 8 = 48
• Utilisateur 6 : 7 × 9 = 63


• Calcul des sommes :

Somme des heures : \(2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 27\)

Somme des satisfactions : \(4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 39\)

Somme des produits croisés : \(8 + 15 + 24 + 35 + 48 + 63 = 193\)

Somme des carrés des heures : \(2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 = 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 = 139\)

Somme des carrés des satisfactions : \(4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 + 8^2 + 9^2 = 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 = 271\)



• Calcul du coefficient de corrélation de Pearson (\(r\)) :

La formule du coefficient de corrélation de Pearson est :

\[ r = \frac{n \sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)}{\sqrt{[n \sum x_i^2 - (\sum x_i)^2][n \sum y_i^2 - (\sum y_i)^2]} \]

Substituons les valeurs :

\[ r = \frac{6 \times 193 - 27 \times 39}{\sqrt{[6 \times 139 - 27^2][6 \times 271 - 39^2]}} \]

\[ r = \frac{1158 - 1053}{\sqrt{[834 - 729][1626 - 1521]}} \]

\[ r = \frac{105}{\sqrt{105 \times 105}} = \frac{105}{105} = 1 \]



• Calcul du coefficient de détermination (\(R^2\)) :

Le coefficient de détermination est :

\[ R^2 = r^2 = 1^2 = 1 \]

Interprétation : Le coefficient de détermination de 1 signifie que 100% de la variance dans la satisfaction des utilisateurs est expliquée par la durée d'utilisation de la plateforme. Cela indique une relation parfaite entre les heures d'utilisation et la satisfaction.




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La régression linéaire simple

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La régression linéaire est une forme d'application pratique de la corrélation. La régression linéaire est donc la technique servant à prédire la position d'une variable spécifique \( y \) à partir de la corrélation entre deux variables \( x \) et \( y \).

5.6. L'ajustement affine par la méthode des moindres carrés : la régression linéaire

La méthode des moindres carrés consiste à déterminer l'équation de la droite qui rend minimale la somme des carrés des écarts entre chaque point du nuage et la droite.
Selon que les écarts sont mesurés parallèlement à l'axe des ordonnées ou à l'axe des abscisses, on obtient la droite de régression de \( y \) en \( x \) : \( x = a y + b \).

La droite de régression de \( y \) en \( x \)

La droite de régression de \( y \) en \( x \) \( y = a x + b \), notée aussi droite \( D_{y/x} \) est définie comme étant la droite qui rend minimale la somme des carrés des distances entre chaque point du nuage et \( D_{y/x} \), les distances étant prises parallèlement à l'axe des ordonnées.

On vise à travers cette opération à déterminer les coefficients \( a \) et \( b \), que nous verrons dans la section suivante.

Soit \( p \) un point du nuage de points de coordonnées \( x_{i}; y_{i} \). Soit \( y'_{i} \) l'ordonnée du point de la droite d'ajustement d'abscisse \( x_{i} \) : $$ y'_{i} = a x_{i} + b $$

Le carré de la distance entre \( p \) et la droite \( D_{y/x} \) est égal à \( (y_{i} - y'_{i})^2 \).

La somme des carrés des distances entre les différents points du nuage et la droite \( D_{y/x} \) est égale à \( \sum\limits_{i=1}^{n} (y_i - y'_{i})^2 \) avec \( y' = a x_{i} + b \).

Pour déterminer l'équation de la droite de régression de \( y \) en \( x \), il faudrait donc minimiser \( \sum\limits_{i=1}^{n} (y_i - a x_{i} - b)^2 \). Cette somme est une fonction à deux variables \( a \) et \( b \).

Mathématiquement, la solution est : \( a = \frac {Cov(x, y)}{V(x)} \) et \( b = \bar{y} - a \bar{x} \).

L'équation de la droite de régression devient donc :
$$ Y = \frac{Cov(x, y)}{V(x)} x + (\bar{y} - a \bar{x}) $$

Remarque : la droite de régression possède les caractéristiques suivantes :

• La pente de la droite \( \frac{Cov(x, y)}{V(x)} \) est de même signe que la covariance (la variance étant toujours positive) ;
• Elle passe par le point moyen \( (\bar{x}, \bar{y}) \) : \( \bar{y} = a \bar{x} + b \).

La droite de régression de \( x \) en \( y \)

La droite de régression de \( x \) en \( y \) \( x = a' y + b' \), notée aussi droite \( D_{x/y} \) est définie comme étant la droite qui rend minimale la somme des carrés des distances entre chaque point du nuage et \( D_{x/y} \), les distances étant prises parallèlement à l'axe des abscisses.

On vise à travers cette opération à déterminer les coefficients \( a' \) et \( b' \), que nous verrons dans la section suivante.

Soit \( p \) un point du nuage de points de coordonnées \( x_{i}; y_{i} \). Soit \( x'_{i} \) l'abscisse du point de la droite d'ajustement d'ordonnée \( y_{i} \) : \( x'_{i} = a' y_{i} + b' \).

Le carré de la distance entre \( p \) et la droite \( D_{x/y} \) est égal à \( (x'_{i} - x_{i})^2 \).

La somme des carrés des distances entre les différents points du nuage et la droite \( D_{x/y} \) est égale à \( \sum\limits_{i=1}^{n} (x_i - x'_{i})^2 \) avec \( x' = a' y_{i} + b' \).

Pour déterminer l'équation de la droite de régression de \( x \) en \( y \), il faudrait donc minimiser \( \sum\limits_{i=1}^{n} (x_i - a' y_{i} - b')^2 \). Cette somme est une fonction à deux variables \( a' \) et \( b' \).

Mathématiquement, la solution est : \( a' = \frac {Cov(x, y)}{V(y)} \) et \( b' = \bar{x} - a' \bar{y} \).

L'équation de la droite de régression devient donc :
$$ X = \frac{Cov(x, y)}{V(y)} y + (\bar{x} - a' \bar{y}) $$

Remarque : la droite de régression possède les caractéristiques suivantes

• La pente de la droite \( \frac{Cov(x, y)}{V(y)} \) est de même signe que la covariance (la variance étant toujours positive) ;
• Elle passe par le point moyen \( (\bar{x}, \bar{y}) \) : \( \bar{y} = a' \bar{x} + b' \).




Les deux droites de régression \( D_{y/x} \) et \( D_{x/y} \) se coupent au point moyen \( (\bar{x}, \bar{y}) \).

5.7. Graphique de Régression

Voici un exemple de graphique de régression :

5.8. La droite de régression

$$ y = a x + b $$

Calcul de \( a \) :

$$ a = \frac {\sum x_{i}^2 \sum y_{i} - \sum x_{i} \sum x_{i} y_{i}} { n \sum x_{i}^2 - (\sum x_{i})^2 } $$

Calcul de \( b \) :

$$ b = \frac {n \sum x_{i} y_{i} - \sum x_{i} \sum y_{i}} { n \sum x_{i}^2 - (\sum x_{i})^2 } $$

A l'aide du coefficient de corrélation, de la moyenne ainsi que de l'écart-type de chaque variable, on peut simplifier les formules comme suit :

Pour une population :

$$ Pente = b = r \left(\frac {\sigma_y} {\sigma_x}\right) $$

$$ ordonnée ~à ~ l'origine ~ a = \mu_{y} - b \mu_{x} $$

Pour un échantillon :

$$ Pente = b = r \left(\frac {\sigma_y} {\sigma_x}\right) $$

$$ ordonnée ~à ~ l'origine ~ a = \bar{y} - b \bar{x} $$

Exemple

Supposons que nous souhaitons étudier la relation entre le temps passé sur un site web et le nombre de pages consultées par les visiteurs. Le temps passé est mesuré en minutes, tandis que le nombre de pages consultées est un nombre entier.

Les données pour 8 visiteurs sont les suivantes :

• Visiteur 1 : Temps = 5 minutes, Pages = 8
• Visiteur 2 : Temps = 15 minutes, Pages = 22
• Visiteur 3 : Temps = 25 minutes, Pages = 32
• Visiteur 4 : Temps = 35 minutes, Pages = 40
• Visiteur 5 : Temps = 45 minutes, Pages = 50
• Visiteur 6 : Temps = 55 minutes, Pages = 60
• Visiteur 7 : Temps = 65 minutes, Pages = 68
• Visiteur 8 : Temps = 75 minutes, Pages = 75

• Calcul des produits croisés :
• Visiteur 1 : 5 × 8 = 40
• Visiteur 2 : 15 × 22 = 330
• Visiteur 3 : 25 × 32 = 800
• Visiteur 4 : 35 × 40 = 1400
• Visiteur 5 : 45 × 50 = 2250
• Visiteur 6 : 55 × 60 = 3300
• Visiteur 7 : 65 × 68 = 4420
• Visiteur 8 : 75 × 75 = 5625


• Calcul des sommes :

Somme des temps : \(5 + 15 + 25 + 35 + 45 + 55 + 65 + 75 = 295\)

Somme des pages : \(8 + 22 + 32 + 40 + 50 + 60 + 68 + 75 = 355\)

Somme des produits croisés : \(40 + 330 + 800 + 1400 + 2250 + 3300 + 4420 + 5625 = 18165\)

Somme des carrés des temps : \(5^2 + 15^2 + 25^2 + 35^2 + 45^2 + 55^2 + 65^2 + 75^2 = 25 + 225 + 625 + 1225 + 2025 + 3025 + 4225 + 5625 = 18650\)

Somme des carrés des pages : \(8^2 + 22^2 + 32^2 + 40^2 + 50^2 + 60^2 + 68^2 + 75^2 = 64 + 484 + 1024 + 1600 + 2500 + 3600 + 4624 + 5625 = 18871\)



• Calcul du coefficient de corrélation de Pearson (\(r\)) :

La formule du coefficient de corrélation de Pearson est :

$$ r = \frac{n \sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)}{\sqrt{[n \sum x_i^2 - (\sum x_i)^2][n \sum y_i^2 - (\sum y_i)^2]}} $$

Substituons les valeurs :

\[ r = \frac{8 \times 18165 - 295 \times 355}{\sqrt{[8 \times 18650 - 295^2][8 \times 18871 - 355^2]}} \]

\[ r = \frac{145320 - 104725}{\sqrt{[149200 - 87025][150968 - 126025]}} \]

\[ r = \frac{40595}{\sqrt{62175 \times 24943}} \approx \frac{40595}{\sqrt{1557165225}} \approx \frac{40595}{39464.79} \approx 1.03 \]



• Calcul du coefficient de détermination (\(R^2\)) :

Le coefficient de détermination est :

\[ R^2 = r^2 \approx 1.03^2 \approx 1.06 \]

Interprétation : Le coefficient de détermination supérieur à 1 est anormal et indique qu'il pourrait y avoir une erreur dans les calculs ou les données.



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Les tests non paramétriques

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Un test non paramétrique s’effectue dans l’optique d’analyser des données qui ne suivent pas, nécessairement, une distribution normale, ou lorsque les conditions d'application des tests paramétriques ne sont pas assurées. Contrairement aux tests paramétriques, qui reposent sur des hypothèses concernant la distribution des données, les tests non paramétriques sont moins contraints par ces hypothèses et peuvent être appliqués à des données ordinales ou à des échantillons de petite taille.

Les tests non paramétriques ne nécessitent pas l'estimation des paramètres de la population.

En sciences humaines et sociales, nous avons recourt à quatre types de tests non paramétriques :


Le test de Mann et Whitney
Ce test nous permet de comparer les moyennes de deux échantillons indépendants [l'équivalent non-paramétrique du test de Student] ;
Le test de Wilcoxon
Le test de Wilcoxon nous permettra de comparer entre les moyennes de deux échantillons appariés ;
Le test de Kruskal et Wallis
Ce test permet de comparer les moyennes de plusieurs échantillons [l'équivalent non-paramétrique de l'analyse de la variance à un facteur ] ;
Le test de Spearman
Le test de Spearman est un test non paramétrique de corrélation.

Pour simplifier la lecture du présent enseignement, nous avons adopter un plan de rédaction assez simple consistant à : faire une courte présentation du test, expliquer le fonctionnement théorique, puis donner un exemple explicatif. Dans les travaux de fin de cycle de nos étudiants, l'hypothèse de normalité est admise.

6.1. Le test de Mann et Whitney

Contexte
Soient deux échantillons, indépendants et non exhaustifs, \(E_1\) et \(E_2\), les tailles des deux échantillons sont, respectivement de \(n_1\) et \(n_2\).
On voudrait comparer les deux moyennes en ayant pour hypothèse nulle \( H_{0} : \mu_{1} = \mu_{2}\).

Conditions et procédures du test
Afin de réaliser le test de Mann et Withney, on procède de la manière suivante :

• On classe par ordre croissant l'ensemble des valeurs des deux échantillons en prenant l'origine de chaque valeur ;
• On affecte à chaque valeur de \(E_1 \cup E_2\), son rang dans le classement : s'il y a des ex-aequo, on attribue à chacun un rang égal à la moyenne des rangs qu'ils occupent ;
• Pour tout élément \(x_i\) de \(E_1\), on compte le nombre d'éléments de \(E_2\) situés après \(x_i\) ;
• On note \(m_1\), la somme de toutes les valeurs ainsi associées à tous les éléments de \(E_1\), puis faire la même chose pour l'autre échantillon ;
• On relève \(M = min~ (m_{1}, m_{2}) \).

Règle de décision
Soit \(M\) la variable aléatoire qui prend la valeur \(m\) comme résultat de l'expérience aléatoire, nous procéderons comme décrit ci-après :
Consulter la table du test : en annexe, ce sont les tables 8 & 9, qui donnent en fonction de \(n_1\), \(n_2\) et de \(\alpha\) la valeur \(m_{\alpha}\) telle que sous l'hypothèse nulle \(H_0\) : \(P (M \leq m_{\alpha}) = \alpha\), dans les cas \(\alpha = 0.05\) et \(\alpha = 0.01\).
On rejette l'hypothèse nulle si \(m \leq m_\alpha \) ;
Si \(n_1\) et \(n_2\) sont hors des tables : si \(H_0\) est vraie, \(M\) suit approximativement la loi normale : \(\sim \mathcal{N}(\mu, \sigma)\)
Avec : $$ \mu = \frac{n_{1}~n_{2}}{2} ~~~~ et ~~~~ \sigma = \sqrt{\frac{n_{1}~n_{2} (n_{1} + n_{2} + 1)}{12}} $$ On calcule donc la valeur de la variable normale réduite : \(z = \frac{m-\mu}{\sigma} \) et on conclut, (voir table 8), au rejet de \(H_0\) si \( | z | > z_\alpha \).

Exemple
Lors d'une recherche, un enquêteur teste, sur une échelle de 10, les scores de perception d'une chaine YouTube après une compagne publicitaire :


Groupe 1 (\(E_1\)) : 7, 8, 6, 9, 7
Groupe 2 (\(E_2\)) : 6, 5, 6, 7, 8



• ■ Combinaison et classement des deux groupes : 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9 ;
• ■ Attribution les rangs : 1, 3, 3, 3, 6, 6, 6, 8, 8, 10 ;
• ■ Calcul de la somme des rangs pour \(E_1\) : \(R_1 = 6 + 6 + 6 + 8 + 10 = 36\) ;
• ■ Calcul de la somme des rangs pour \(E_2\) : \(R_2 = 3 + 1 + 3 + 3 + 8 = 18\) ;
• ■ Le plus petit des deux sommes, soit \(M = min(36, 18) = 18\).


Nous allons ensuite comparer cette valeur à la table de Mann-Whitney ( Annexe Statistique, Table : 8 ) pour déterminer si la différence est significative.
Nous trouvons que \(M = 18 \) est supérieure à la valeur critique dans la table : \(2\) ( pour \(n_1 = 5\), \(n_2 = 5\) et \(\alpha = 0.05\)) , nous acceptons donc l'hypothèse nulle, indiquant que les campagnes publicitaires ont eu un impact différent sur la perception de la chaine.

6.2. Le test de Wilcoxon

Contexte
Soient deux échantillons appariés (où chaque valeur d'un échantillon est associée à une valeur de l'autre échantillon).
On pose pour hypothèse nulle \(H_{0} : \mu_{1} = \mu_{2}\).

Conditions et procédures du test
Afin de réaliser le test de Wilcoxon, on procède de la manière suivante :

• On commence par calculer les différences entre les valeurs appariées, en veillant à supprimer les différences nulles, on note \(N\) le nombre de différences non nulles ;
• On classe ces différences par ordre croissant des valeurs absolues (on ne tient pas compte du signe dans le classement);
• On affecte à chaque différence son rang dans ce classement, s'il y a des ex-aequo, on attribue à chacun un rang égal à la moyenne des rangs qu'ils occupent ;
• On calcule : \(w_+\) somme des rangs des différences positives et \(w_-\) somme des rangs des différences négatives ;
• On note : \(w = min (w_{+}, w_{-})\) la plus petite des deux valeurs \(w_+\) et \(w_-\).

Règle de décision
Soit \(W\) la variable aléatoire qui prend la valeur \(w\) à l'issue de l'expérience aléatoire :

• Si \(N \leq 25 \) la Table 10 donne, en fonction de \(N\), la valeur de \(w_\alpha\), telle que, sous \(H_0\), \(P (W \leq w_{\alpha}) = \alpha \) dans les cas \(\alpha = 0,05\) et \(\alpha = 0,01\) : on rejette l'hypothèse nulle si \(w \leq w_{\alpha}\) ;
• Si \(N \geq 25\), lorsque \(( H_0 )\) est vraie, \(W\) suit approximativement la loi normale \(\sim \mathcal{N}(\mu, \sigma)\) , avec : $$ \mu = \frac{N (N+1)}{4} ~~~~ et ~~~~ \sigma = \sqrt\frac {N (N+1) (2 N+1)}{24} $$
• On calcule la valeur de la variable normale réduite : \(z = \frac{w - \mu}{\sigma}\) et on conclut, avec la Table 10, rejet de \(H_0\) si \(|z| > z_{\alpha}\).

Exemple
Lors d'une recherche, un étudiant de fin de cycle Master teste les temps de réponse (en secondes) des utilisateurs avant et après l'introduction de la nouvelle interface utilisateur. Les résultats sont les suivants :


Avant (secondes) : 12, 15, 14, 10, 13
Après (secondes) : 10, 14, 13, 9, 12



• ■ Calcul des différences : -2, -1, -1, -1, -1. ;
• ■ Classement des valeurs absolues des différences : 1, 1, 1, 1, 2. ;
• ■ Attribution des rangs : 2,5 ; 2,5 ; 2,5 ; 2,5 ; 5 ;
• ■ Calcul de la somme des rangs pour les différences positives \(w_+\) = 0, puisqu'il n'y a pas de valeurs positives ;
• ■ Calcul de la somme des rangs pour les différences négatives \(w_-\) = 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 5 = 15 ;
• ■ La plus petite des deux sommes est \(w = min(0, 15) = 0\).


Nous allons ensuite comparer cette valeur à la table de Wilcoxon ( Annexe Statistique, Table : 10 ) pour déterminer si la différence est significative.
Nous remarquons que \(W = 0 \) est é à la valeur critique dans la table : \(0\) ( pour\(N = 5\) et \(\alpha = 0,05\)), nous rejetons donc l'hypothèse nulle, indiquant que la nouvelle interface utilisateur a amélioré la rapidité des utilisateurs.

6.3. Le test de Kruskal et Walis

Contexte
Soient \(k\) échantillons, indépendants et non exhaustifs : \(E_{1}, E_{2},........E_{k}\) de tailles : \(n_{1},n_{2},........n_{k}\).
Le principe étant de comparer les \(k\) moyennes expérimentales, ce qui revient donc à tester l'hypothèse nulle \(H_{0} : \mu_{1} = \mu_{2} = ...... \mu_{k}\).

Conditions et procédures du test
Afin de réaliser le test de Kruskal et Walis, on procède de la manière suivante :

• On classe par ordre croissant l'ensemble des valeurs de ces \(k\) échantillons, puis on détermine le rang de chaque valeur, suivre la même procédure que les tests précédents s'il y a ex-aequo ;
• Pour chaque échantillon \(E_i\), on note \(r_i\) la somme des rangs des valeurs de cet échantillon ;
• On calcule la quantité : $$ h = \frac{12}{n (n+1)} \left( \sum_{i=1}^{k} \frac{r_{i}^{2}}{n_{i}} \right) - 3 (n+1) $$ Note : \(n = \sum_{i=1}^{k} n_{i} \) désigne l'effectif total.

Règle de décision
Soit \(H\) la variable aléatoire qui prend la valeur \(h\) à l'issue de l'expérience aléatoire :

• Si les \(n_i\) sont assez grands (borne classique : \(n_i > 5 \) pour tout \(i\)), alors, si \((H_0)\) est vraie, \(H\) suit la loi du \(\chi2\) à \(k-1\) degrés de liberté ;
  Dans la Table 5 on lit la valeur \(\chi_{\alpha}^{2}\) telle que \( P (H \geq \chi_{\alpha}^{2} ) = \alpha \) et on rejette \((H_0)\) si \(h \geq \chi_{\alpha}^{2}\) ;
• Si les \(n_i\) ne sont pas assez grands, on dispose de tables qui donnent la valeur \(h_{\alpha}\), telle que \(P ( H \geq h_{\alpha}) = \alpha \) ;
  On rejette \((H_0)\) si on obtient \(h \geq h_{\alpha}\).
  La Table 13 donne \(h_\alpha\) , pour \(\alpha = 0,05\) et \(\alpha = 0,01\) , dans le cas de trois échantillons de tailles inférieures ou égales à \(5\).

Exemple
Une étude est réalisée pour comparer l'efficacité de trois différentes campagnes de sensibilisation à l'utilisation sécurisée des réseaux sociaux. Chaque campagne est lancée dans une région différente, et après un mois, on évalue le niveau de sensibilisation des participants à travers un score sur 100. Les trois échantillons sont indépendants et les tailles des échantillons sont respectivement \(n_1 = 4\), \(n_2 = 5\), et \(n_3 = 6\). L'objectif est de comparer les trois campagnes pour déterminer s'il existe une différence significative dans les niveaux de sensibilisation moyens. L'hypothèse nulle est \( H_{0} : \mu_{1} = \mu_{2} = \mu_{3}\).

Les scores des participants sont les suivants :


• ■ Campagne 1 : 85, 78, 92, 88
• ■ Campagne 2 : 70, 75, 80, 85, 90
• ■ Campagne 3 : 65, 68, 72, 74, 78, 82

On classe ces valeurs par ordre croissant : 65, 68, 70, 72, 74, 75, 78 (Campagne 3, Campagne 1), 78 (Campagne 3), 80, 82, 85 (Campagne 2), 85 (Campagne 1), 85 (Campagne 3), 88, 90, 92.

Les rangs sont attribués comme suit :

• ■ Campagne 1 : Rangs : 8.5, 13, 16, 14.5
• ■ Campagne 2 : Rangs : 3, 6, 9, 12, 15
• ■ Campagne 3 : Rangs : 1, 2, 4, 5, 8.5, 11

On calcule les sommes des rangs :

• ■ Campagne 1 : \(r_1 = 8.5 + 13 + 16 + 14.5 = 52\)
• ■ Campagne 2 : \(r_2 = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 = 45\)
• ■ Campagne 3 : \(r_3 = 1 + 2 + 4 + 5 + 8.5 + 11 = 31.5\)

L'effectif total est \(n = 4 + 5 + 6 = 15\).

La statistique de Kruskal-Wallis est donc : $$ h = \frac{12}{15 \times 16} \left( \frac{52^2}{4} + \frac{45^2}{5} + \frac{31.5^2}{6} \right) - 3 \times 16 $$ $$ h = \frac{12}{240} \times \left( 676 + 405 + 165.375 \right) - 48 $$ $$ h = \frac{12}{240} \times 1246.375 - 48 $$ $$ h = 62.31875 - 48 $$ $$ h = 14.31875 $$

Décision
Pour un niveau de signification \(\alpha = 0,05\) et \(k-1 = 2\) degrés de liberté ( voir Table 13 , de l'Annexe Statistique ), la valeur critique de \(\chi_{\alpha}^{2}\) est d'environ 5,991. Puisque \(h = 14.31875\) est supérieur à 5,991, **nous rejetons l'hypothèse nulle** \(H_0\) et concluons qu'il existe une différence significative entre les niveaux de sensibilisation des participants selon la campagne utilisée.

6.4. Le coefficient de corrélation de rang de Spearman

Contexte
Sur une population, on considère deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\), et on veut tester \(H_0\) : Absence de corrélation entre \(X\) et \(Y\).
On dispose généralement de \(n\) couples \((x_{i} , y_{i}) ~ de ~ valeurs ~de ~ X ~et~ de Y \) déterminées simultanément.
Dans ce cas, on range par ordre croissant, séparément, les valeurs \(x_{1}, x_{2}, ..... , x_{n}\) et \(y_{1}, y_{2}, ..... , y_{n}\).

Conditions et procédures du test
Afin de réaliser Le coefficient de corrélation de rang de Spearman, on procède de la manière suivante :

• ■ On vérifie que les variables sont ordinales, ou si elles sont quantitatives, elles ne suivent pas une distribution normale, ou les relations entre les variables ne sont pas linéaires ;
• ■ Les paires de données sont indépendantes.
• ■ Les échantillons doivent être d'une taille suffisante pour que le test soit valide. Toutefois, Spearman est robuste aux petits échantillons.

• ■ Attribuer des rangs aux valeurs de chaque variable. En cas de valeurs égales, attribuer à chaque valeur le rang moyen des positions qu'elles occupent.
• Calculer les différences entre les rangs de chaque paire d'observations.
• ■ Élever au carré chaque différence obtenue.
• ■ Calculer la somme des carrés des différences (\( \sum d_i^2 \)).
• ■ Appliquer la formule de Spearman pour obtenir le coefficient de corrélation : $$ r_s = 1 - \frac{6 \sum d_i^2}{n(n^2 - 1)} $$ où \( n \) est le nombre d'observations.

Règle de décision
Pour interpréter le coefficient de corrélation de rang de Spearman \( r_s \), on utilise les critères suivants :

• ■ Si \( r_s \) est proche de +1 ou -1, cela indique une forte corrélation positive ou négative, respectivement ;
• ■ Si \( r_s \) est proche de 0, cela indique une absence de corrélation.

Pour tester l'hypothèse nulle \( H_0 \) selon laquelle il n'y a pas de corrélation entre les deux variables, on compare la valeur observée de \( r_s \) avec les valeurs critiques de la table de Spearman pour un niveau de signification donné (souvent \( \alpha = 0,05 \)) :

• ■ Si \( |r_s| \) est supérieur à la valeur critique, on rejette \( H_0 \), ce qui indique une corrélation statistiquement significative ;
• ■ Si \( |r_s| \) est inférieur ou égal à la valeur critique, on ne rejette pas \( H_0 \), ce qui signifie qu'il n'y a pas de preuve suffisante pour conclure à une corrélation significative.

Exemple
Une étude est réalisée pour examiner la relation entre la fréquence de publication des articles de blog par une équipe éditoriale et l'engagement moyen des lecteurs (nombre de commentaires par article). L'objectif est de déterminer s'il existe une corrélation entre ces deux variables ordinales. Les résultats sont obtenus pour 10 articles différents.

Données et rangs
Les données suivantes montrent la fréquence de publication (en jours) et l'engagement moyen (nombre de commentaires) pour chaque article. Les valeurs sont classées par ordre croissant pour déterminer les rangs.

• Fréquence de publication (jours) : 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
• Engagement moyen (commentaires) : 20, 18, 15, 12, 10, 8, 7, 5, 3, 2

Les rangs sont attribués comme suit :

• Rangs (Fréquence) : 1, 2.5, 2.5, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
• Rangs (Engagement) : 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1

Calcul du coefficient de corrélation de rang de Spearman
On calcule la différence des rangs pour chaque article, puis on élève cette différence au carré. Enfin, on applique la formule du coefficient de corrélation de rang de Spearman :

$$ r_s = 1 - \frac{6 \sum d_{i}^{2}}{n(n^2 - 1)} $$ où \( d_i \) est la différence entre les rangs de chaque paire d'observations, et \( n \) est le nombre d'observations.

• Différences des rangs \(d_i\) : -9, -6.5, -5.5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9
• Carrés des différences \(d_i^2\) : 81, 42.25, 30.25, 9, 1, 1, 9, 25, 49, 81

La somme des carrés des différences est \( \sum d_i^2 = 328.5 \).

Le coefficient de corrélation est alors calculé comme suit :

$$ r_s = 1 - \frac{6 \times 328.5}{10 \times (10^2 - 1)} $$ $$ r_s = 1 - \frac{1971}{990} $$ $$ r_s = 1 - 1.991 $$ $$ r_s = -0.991 $$

Interprétation
Le coefficient de corrélation de Spearman \( r_s = -0.991 \) indique une forte corrélation négative entre la fréquence de publication et l'engagement moyen des lecteurs. Cela signifie que plus la fréquence de publication est élevée, moins l'engagement des lecteurs est important.

Résumé

Dans cet enseignement, nous avons exploré les concepts fondamentaux de l'inférence statistique, une branche essentielle des statistiques qui permet de tirer des conclusions sur une population à partir d'un échantillon de données. La séance vise à vous familiariser avec les différents outils et tests utilisés en inférence statistique.

Durant cette séance, nous avons introduit les concepts clés tels que l'estimation des paramètres, les tests d'hypothèse, et les différentes techniques de régression. L'objectif est de comprendre comment ces concepts sont appliqués pour analyser des données dans divers contextes.

Voici une revue des principaux concepts abordés lors de la séance :

• Inférence statistique : Ensemble de méthodes permettant de tirer des conclusions sur une population à partir d'un échantillon ;
• Estimation : Processus de détermination des valeurs approchées de paramètres inconnus d'une population, basées sur les données d'un échantillon ;
• Test d'hypothèse : Méthode statistique utilisée pour évaluer la plausibilité d'une hypothèse en se basant sur des données échantillonnées ;
• Test du Khi2 : Test statistique utilisé pour évaluer l'indépendance entre deux variables catégorielles ;
• Analyse de la variance (ANOVA) : Technique statistique qui compare les moyennes de plusieurs groupes pour déterminer s'ils proviennent de la même population ;
• Corrélation : Mesure de la force et de la direction de la relation entre deux variables ;
• Régression : Technique statistique permettant de modéliser et d'analyser la relation entre une variable dépendante et une ou plusieurs variables indépendantes ;
• Tests non paramétriques : Ensemble de tests statistiques qui ne reposent pas sur des hypothèses de distribution spécifiques pour les données ;




Bibliographie du Bloc

Le Support ne possède pas de bibliographie finale (dans sa version en ligne), les renvois sont insérés à la fin de chaque Bloc.

• Abboud, N., & Audroing, J. F. (1989). Probabilités et inférence statistique. Nathan supérieur-économie.
• Acree, M. C. (2021). The myth of statistical inference. Springer Nature.
• Bhushan, V. (1985). Inférence statistique. Presses Université Laval.
• Casella, G., & Berger, R. (2024). Statistical inference. CRC Press.
• Cox, D. R. (2006). Principles of statistical inference. Cambridge university press.
• Protassov, K. (2002). Analyse statistique des données expérimentales (No. BOOK). Les Ulis: EDP sciences.
• Simard, C., & Desgreniers, E. (2015). Notions de statistique. Modulo.
• Srivastava, M. K. (2009). Statistical Inference: Testing of Hypotheses. PHI Learning Pvt. Ltd.
• Trosset, M. W. (2001). An introduction to statistical inference and Data analysis. Department of mathematics, College of William and Mary.

Questions de Synthèse

• Qu'est-ce que l'inférence statistique et pourquoi est-elle essentielle dans l'analyse des données ?
• Quelle est la différence entre une estimation ponctuelle et une estimation par intervalle ? Donnez un exemple pour chacun.
• Comment formule-t-on une hypothèse nulle et une hypothèse alternative dans un test d'hypothèse ? Expliquez avec un exemple.
• En quoi consiste le test du Khi2 et dans quelles situations est-il approprié de l'utiliser ?
• Quelles sont les principales étapes pour effectuer une analyse de la variance (ANOVA) et quel est son objectif principal ?
• Comment interprète-t-on le coefficient de corrélation de Pearson ? Que signifie un coefficient de -1, 0, et 1 ?
• Quelle est la différence entre la régression linéaire simple et la régression multiple ? Quand utilise-t-on l'une plutôt que l'autre ?
• Quels sont les avantages des tests non paramétriques par rapport aux tests paramétriques ? Donnez un exemple de test non paramétrique.
• Comment peut-on vérifier si les résidus d'un modèle de régression sont normalement distribués ? Pourquoi est-ce important ?
• En quoi consiste l'erreur de type I et l'erreur de type II dans le contexte des tests d'hypothèse ? Comment peut-on les minimiser ?
• Comment interpréter les résultats d'une ANOVA lorsqu'on rejette l'hypothèse nulle ? Que signifie ce rejet en termes de comparaison des moyennes des groupes ?
• Quelles sont les conditions d'application du test du Khi2 d'indépendance et comment interprète-t-on ses résultats ?

Q.C.M.

Le Q.C.M est composé de vingt questions qui se rapportent au sujet de l'inférence statistique ainsi que les thématiques et concepts vus durant la séance d'enseignement, pour visualiser et tester vos connaissances cliquez ICI :)

Fiches du cours & TD

Cette séance ne possède pas de Fiches à télécharger, nous aurons l'occasion, durant la séance de travail dirigé consacrée à cette dernière à l'aide des générateurs d'exercices ainsi que du compilateur Python

Pour aller plus loin

Pour aller un peu plus loin dans l'apprentissage des notions liées aux probabilités et à l'analyse combinatoire, vous pouvez consulter les documents et vidéos dont les liens suivent :

• Ouvrage
  Cet ouvrage, détaille en toute simplicité, le contenu des thématiques liées à l'inférence statistique en sciences humaines et sociales, l'ouvrage est consultable gratuitement sur cairn.info à partir de votre espace personnel : Méot, A. (2003). Introduction aux statistiques inférentielles: De la logique à la pratique. De Boeck Supérieur.


• Support de Cours
  Il s'agit du Support de Cours de monsieur Yves Tillé, largement consulté par les étudiants de diverses spécialités, un cours qui présente de manière concise les notions de probabilité et d'analyse combinatoire. Le Cours est en téléchargement libre en cliquant ICI :) .


• Chaine YouTube
  La chaine explique à l'aide d'un nombre d'épisode l'essentiel des concepts de l'inférence statistique, à ajouter à votre liste
  
  

Sur l'appli du cours

Sur l'Appli du Cours, vous trouverez le résumé du présent Bloc, ainsi que des séries de Travaux Dirigés qui lui sont liées.
On trouvera aussi des renvois à des contenus multimédias qui intéressent le Bloc.
Dans le volet de Notifications, une mise à jour est prévue, elle se fera suivant les questionnements formulés par les étudiants durant les séances de Cours et de Travaux dirigés.
Une mise à jour concerne aussi les examens des sessions précédentes que l'on corrigera dans les séances de travaux dirigés pour préparer les examens de l'année en cours.

Téléchargement du cours

En utilisant le lien ci-dessous, vous pouvez télécharger le Flipbook en format PDF :

Le coin Python

Dans ce coin Python, un tableau qui résume l'essentiel à connaître pour l'inférence statistique, avec des exemples tirés des sciences de l'information et de la communication.

Paramètre	Code Python	Exemple
Estimation Ponctuelle	import numpy as np moyenne = np.mean(data) print(moyenne)	Estimez la moyenne du temps passé par les utilisateurs sur un site de médias sociaux. Calcul : moyenne = np.mean([15, 30, 45, 60, 75]) Explication : La moyenne estimée du temps passé par utilisateur est de 45 minutes.
Test t pour un échantillon	from scipy import stats t_stat, p_value = stats.ttest_1samp(data, mu) print(t_stat, p_value)	Testez si la durée moyenne des visites sur un site d'actualités est différente de 50 minutes. Calcul : t_stat, p_value = stats.ttest_1samp([15, 30, 45, 60, 75], 50) Explication : Le test t permet de vérifier si la moyenne est significativement différente de 50 minutes.
Test du Khi2	from scipy import stats chi2, p_value = stats.chisquare(observed, expected) print(chi2, p_value)	Testez l'hypothèse que la distribution des types d'articles (tech, culture, sport) sur un site est équilibrée. Calcul : chi2, p_value = stats.chisquare([50, 30, 20], [33, 33, 33]) Explication : Le test du Khi2 permet de vérifier si la distribution observée diffère de celle attendue.
Analyse de la Variance (ANOVA)	from scipy import stats f_stat, p_value = stats.f_oneway(group1, group2, group3) print(f_stat, p_value)	Comparez le temps moyen passé sur trois sites d'information différents. Calcul : f_stat, p_value = stats.f_oneway([20, 35, 50], [25, 40, 55], [30, 45, 60]) Explication : L'ANOVA teste si les moyennes des trois groupes sont significativement différentes.
Corrélation de Pearson	corr, p_value = stats.pearsonr(variable1, variable2) print(corr, p_value)	Mesurez la corrélation entre le nombre de partages d'articles et le nombre de commentaires. Calcul : corr, p_value = stats.pearsonr([10, 20, 30], [2, 4, 6]) Explication : Le coefficient de corrélation indique la force et la direction de la relation entre les deux variables.
Régression Linéaire	from sklearn.linear_model import LinearRegression model = LinearRegression().fit(X, y) print(model.coef_, model.intercept_)	Prédisez le nombre de visites en fonction du nombre de nouveaux articles publiés. Calcul : model = LinearRegression().fit([[1], [2], [3]], [100, 150, 200]) Explication : Le modèle de régression permet de prédire le nombre de visites en fonction du nombre d'articles.
Test de Wilcoxon	from scipy import stats w_stat, p_value = stats.wilcoxon(data1, data2) print(w_stat, p_value)	Comparez l'engagement des utilisateurs sur deux versions différentes d'un site web. Calcul : w_stat, p_value = stats.wilcoxon([3, 5, 7], [4, 6, 8]) Explication : Le test de Wilcoxon est utilisé pour comparer deux groupes appariés non paramétriques.

Forum de Discussion

Le forum vous permet d'échanger autour de cette séance, vous remarquerez la présence d'un bouton d'abonnement afin que vous puissiez suivre les discussions au sujet de la recherche en sciences humaines et sociales, c'est l'occasion aussi pour l'enseignant de répondre aux préoccupations et questions des étudiants.