Dr Mehenaoui Naima: Cours test atelier 3: Analyse 2

Intégration des fractions rationnelles

• $\int\dfrac{1}{x+\lambda}dx=\ln\vert x+\lambda\vert+c,\;\; c\in \mathbb{R}.$
• $\int\dfrac{1}{\left( x+\lambda\right) ^{n}}dx=-\dfrac{1}{n-1}\dfrac{1}{\left( x+\lambda\right) ^{n-1}}+c,\;\; c\in \mathbb{R}.$
• Si $x^{2}+px+q$ admet deux racines réelles $\alpha$ et $\beta$. On a

$\left. \begin{aligned}\int \dfrac{ax+b}{x^{2}+px+q} dx&=\int\dfrac{A}{x-\alpha}dx+\int \dfrac{B}{x-\beta} dx\\&=A \ln\vert x -\alpha\vert+B \ln\vert x -\beta\vert+c,\;\; c\in \mathbb{R}.\end{aligned}\right.$

• Si$x^{2}+px+q$ n'admet pas de racines réelles. on a

$x^{2}+px+q=\left( x-\alpha\right) ^{2}+\beta^{2}.$

En faisant le changement de variable suivant:

$x-\alpha=\beta\,t \Rightarrow dx=\beta dt,$ et On se ramène au calcul des intégrales suivantes:

$\displaystyle\left. \begin{aligned}\begin{split}\int \dfrac{ax+b}{x^{2}+px+q} dx&=\int \dfrac{ax+b}{\left( x-\alpha\right) ^{2}+\beta^{2}} dx\\&=\int \dfrac{Mt+N}{t^{2}+1}dt\\&= \int \dfrac{Mt}{t^{2}+1}dt+\int \dfrac{N}{t^{2}+1}dt\\&= \dfrac{M}{2} \ln \left( t^{2}+1\right) +N\, \arctan(t) +c, \; c\in \mathbb{R}.\end{split}\end{aligned}\right.$

Puis on remplace $t$ par $\dfrac{x-\alpha}{\beta}$.