MAHDI Kamal: cour de mécanique 1année
Les Vecteurs et le calcul vectoriel
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En mathématiques, un vecteur est un objet généralisant plusieurs notions provenant de la géométrie (couples de points, translations, etc.), de l'algèbre (« solution » d'un système d'équations à plusieurs inconnues), ou de la physique (forces, vitesses, accélérations, etc.).
Rigoureusement axiomatisée, la notion de vecteur est le fondement de la branche des mathématiques appelée algèbre linéaire. À ce sens, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de vecteur, à condition qu'il appartienne à un ensemble muni des opérations adéquates.
On représente fréquemment les vecteurs comme de simples n-uplets ou, graphiquement, dans le cas particulier des espaces à 1, 2 ou 3 dimensions, par des flèches : cette représentation est issue de la combinaison des notions de couple de points de la géométrie euclidienne (qui permettent de définir les distances, mais aussi la direction et le sens), et des possibilités de calcul offertes par l'algèbre ; cela permet de donner un sens à des vecteurs définis en dimension deux (le plan), trois (l'espace euclidien usuel), mais plus généralement dans des espaces de dimension quelconque.
En physique, les vecteurs sont grandement utilisés, ils permettent de modéliser des grandeurs comme une force, une vitesse, une accélération, une quantité de mouvement ou certains champs (électrique, magnétique, gravitationnel…). Une grandeur vectorielle s'oppose à une grandeur scalaire : la grandeur scalaire a uniquement une valeur mais pas de direction ou de sens.
Ces notions de champs, et les opérateurs permettant de les calculer, ont amené à définir, en algèbre multilinéaire, la notion de champ vectoriel, c'est-à-dire une fonction de ℝn dans ℝn. Ainsi, par exemple, résoudre une équation différentielle, c'est déterminer les courbes auxquelles sont tangents les vecteurs du champ.
Plus généralement encore, les vecteurs sont des cas particuliers de tenseurs (ils s'identifient aux tenseurs d'ordre un). Les tenseurs d'ordre deux sont représentés par des matrices, et les matrices d'une application linéaire transformant les vecteurs en forme linéaire constituent une forme particulière de vecteurs, appelées aussi bi-vecteurs.